Hieronder zie je twee keer dezelfde figuren afgebeeld, één keer massief en één keer als draadmodel.
Geef aan wat bij wat hoort. (A hoort bij 5 bijvoorbeeld.)
Op de werkbladen staan bouwplaten van deze figuren. Knip ze uit, zet ze in elkaar en bewaar ze.
Veelvlak E heeft: 12 hoekpunten, 20 grensvlakken, 30 ribben.
Schrijf ook voor de andere veelvlakken het aantal hoekpunten, grensvlakken en ribben op.
-
Je kunt de bouwplaten ook op de internetpagina van de Wageningse Methode vinden. Hier vind je ook verwijzingen naar applets over regelmatige veelvlakken.
-
Misschien heeft de school wel polydron. Daarmee kun je die figuren ook maken.
De vijf veelvlakken hierboven zijn zeer bijzonder. Alle grensvlakken zijn hetzelfde en in elk hoekpunt komen evenveel grensvlakken samen. We noemen het daarom regelmatige veelvlakken. De Griekse wiskundige Euclides heeft laten zien dat er maar vijf zijn: het regelmatige viervlak, het regelmatige zesvlak, het regelmatige achtvlak, het regelmatige twaalfvlak en het regelmatige twintigvlak. Ze worden (naar de Griekse wijsgeer Plato) ook wel Platonische lichamen genoemd.
Van elk van de zes volgende figuren zijn de ribben even lang. Toch zijn de figuren niet regelmatig. Figuur B is bijvoorbeeld niet regelmatig omdat er in sommige hoekpunten zes vlakken samenkomen en in andere drie.
Zeg voor elk van de andere vijf figuren waarom het geen regelmatig veelvlak is.
Het aantal hoekpunten, ribben en grensvlakken van veelvlak E in een voorgaande opgave 20 heb je misschien met veel moeite kunnen vinden. Daarbij zul je wel sterk gebruik gemaakt hebben van de tekeningen van de draadmodellen. Anne heeft de volgende redenering om het aantal hoekpunten van een kubus te berekenen.
Lees die redenering goed.
Anne heeft ook een redenering om het aantal ribben van een kubus te berekenen.
Vul de redenering van Anne aan.
Bekijk de volgende drie figuren.
Bereken, net als Anne, het aantal hoekpunten en het aantal ribben van een
regelmatig achtvlak,
regelmatig twaalfvlak,
regelmatig twintigvlak.
(Kijk goed hoeveel grensvlakken er in een hoekpunt samenkomen.)
Door van een kubus alle acht de hoeken af te zagen ontstaat de volgende figuur. De hoekpunten van de zaagvlakken zijn middens van ribben. De figuur heeft als grensvlakken regelmatige driehoeken en vierkanten.
Bereken het aantal hoekpunten, grensvlakken en ribben van de afgezaagde kubus.
De ster ontstaat door op elk grensvlak van een kubus een vierzijdige piramide te plakken.
Bereken het aantal grensvlakken, ribben en hoekpunten van de ruimtelijke figuur. (De grensvlakken van de kubus zijn geen grensvlakken van de nieuwe figuur meer!) Gebruik dat een kubus zes grensvlakken, twaalf ribben en acht hoekpunten heeft.
Van een regelmatig twintigvlak worden de punten afgezaagd. In de figuur links is bij één hoekpunt getekend hoe dat gaat. In het midden zie je wat er bij één keer zagen van een grensvlak weggezaagd wordt. Rechts zie je de figuur die uiteindelijk ontstaat.
Die figuur wordt begrensd door regelmatige vijfhoeken en regelmatige zeshoeken.
Vul in:
De zaagvlakken zijn de regelmatige ....., wat er van de driehoekige grensvlakken overblijft, zijn de regelmatige ......
Bereken het aantal hoekpunten, grensvlakken en ribben van de figuur die uiteindelijk ontstaat.
In de volgende opgaven hebben we het alleen maar over veelhoeken zonder "inhammen".
Teken een vijfhoek met daarin alle diagonalen.
Teken een zeshoek met daarin alle diagonalen.
Hoeveel diagonalen heeft een vijfhoek? En hoeveel diagonalen heeft een zeshoek?
In hoofdstuk 2 heb je geleerd hoe je het aantal verbindingslijntjes tussen punten kunt berekenen.
Teken zeven punten in je schrift en alle mogelijke verbindingslijntjes tussen deze punten.
Vanuit elk van de zeven punten kun je zes verbindingslijntjes tekenen. Je zou zeggen dat zijn er in totaal 42.
Waarom zijn er maar 21?
Als je alle diagonalen in een zevenhoek tekent, heb je met de zijden erbij alle verbindingslijntje tussen zeven punten.
Hoeveel diagonalen heeft een zevenhoek?
Bereken het aantal diagonalen van een dertienhoek.
Hoeveel verbindingslijntjes kun je tussen 100 punten tekenen? Hoeveel diagonalen heeft een honderdhoek?
Hoeveel binnendiagonalen heeft een kubus?
Hoeveel buitendiagonalen heeft een kubus?
Hoeveel ribben heeft een kubus?
Als je de getallen die je in a, b en c vindt bij elkaar optelt, vind je het aantal verbindingslijntjes tussen 8 punten, namelijk . Leg dat uit.
Je ziet een vijfzijdig prisma. Deze figuur staat ook op het werkblad.
Teken alle binnendiagonalen vanuit A.
Kleur alle buitendiagonalen aan de voorkant en ook alle buitendiagonalen aan de "rechter zijkant" in een andere kleur.
Bereken het aantal buitendiagonalen van het prisma.
Vanuit elk hoekpunt aan de voorkant van het prisma kun je twee binnendiagonalen tekenen.
Hoeveel binnendiagonalen heeft het prisma?
Hoeveel ribben heeft een vijfzijdig prisma?
Hoeveel diagonalen kun je vanuit één hoekpunt van een zevenhoek tekenen? Hoeveel diagonalen heeft een zevenhoek?
In hoofdstuk 2 heb je gezien dat je 21 verbindingslijntjes tussen 7 punten kunt tekenen. Sommige zijn zijden van de zevenhoek, de andere diagonalen. Hoe kun je hieruit het aantal diagonalen van een zevenhoek berekenen?
Geef een formule waarmee je het aantal diagonalen van een n-hoek kunt berekenen.
Je ziet een zeszijdig prisma.
Hoeveel binnendiagonalen kun je vanuit één punt tekenen?
Hoeveel buitendiagonalen kun je vanuit één punt tekenen? Onderscheid twee gevallen.
Hoeveel binnendiagonalen heeft een zeszijdig prisma in totaal? En hoeveel buitendiagonalen?
Hoeveel ribben heeft een zeszijdig prisma?
Als je de antwoorden in c en d bij elkaar telt, krijg je het totaal aantal verbindingslijntjes tussen twaalf punten.
Klopt dat met de formule uit hoofdstuk 2?
Hoeveel verbindinglijntjes kun je tussen de hoekpunten van een honderdzijdig prisma tekenen?
Hoeveel ribben heeft een honderdzijdig prisma?
En hoeveel buitendiagonalen? (Je kunt hier de formule gebruiken die je in opgave 27c gevonden hebt.)
En hoeveel binnendiagonalen?
Als je de drie getallen uit onderdeel b bij elkaar telt, vind je dan hetzelfde antwoord als in a?
Een balk is 1 bij 2 bij 4 cm. Een mier loopt over de grensvlakken de route . ( en zijn middens van ribben.)
Neem de uitslag van de balk over in je schrift en teken daarin de route van de mier.
Zet eerst de juiste letters bij de hoekpunten in de uitslag.
Een tweede mier loopt alleen over de ribben van de balk.
Hoeveel kortste routes zijn er voor deze mier mogelijk van naar ?
Hoeveel routes zijn er voor de tweede mier van naar en dan weer terug naar ?
