Verhoudingen

De blauwe rechthoekige driehoek heeft rechthoekszijden van $2$ en $3$ cm. Met de applet "rechthoekige driehoek tekenen" kun je zien dat een van de hoeken $56 °$ is. In het plaatje is die driehoek op verschillende formaten uitvergroot (of verkleind) tot de driehoeken $A B C$ , $P Q R$ en $X Y Z$ .
Bij vergroten of verkleinen verandert de groottte van een hoek niet. Van elke driehoek is telkens één rechthoekszijde gegeven, zie plaatje.

Bereken $A B$ , $Q R$ en $Y Z$ .

Rechthoekige driehoek $D E F$ is niet getekend. Van die driehoek is hoek $D$ ook $56 °$ en hoek $E$ is recht. Verder is $D E = 4$ cm.

Bereken $E F$ .

De breuk $\frac{overstaande rechthoekszijde}{aanliggende rechthoekszijde}$ van de hoek van $56 °$ is bij de blauwe driehoek gelijk aan $\frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$ .

Bereken die verhouding ook in de driehoeken $A B C$ , $P Q R$ , $X Y Z$ en $D E F$ .

De blauwe rechthoekige driehoek heeft rechthoekszijden van $1 \frac{1}{2}$ en $2$ cm. Met de applet "rechthoekige driehoek tekenen" kun je zien dat een van de hoeken dan $53 °$ is. In het plaatje is die driehoek op verschillende formaten uitvergroot (of verkleind) tot de driehoeken $A B C$ , $P Q R$ en $X Y Z$ .
Bij vergroten of verkleinen verandert de groottte van een hoek niet. Van elke driehoek is telkens één rechthoekszijde gegeven, zie plaatje.

Bereken $B C$ , $P Q$ en $Y Z$ .

Rechthoekige driehoek $D E F$ is niet getekend. Van die driehoek is hoek $D$ , ook $53 °$ en hoek $E$ is recht. Verder is $D E = 12$ cm.

Bereken $E F$ .

De breuk $\frac{overstaande rechthoekszijde}{aanliggende rechthoekszijde}$ van de hoek van $53 °$ is bij de blauwe driehoek gelijk aan $\frac{2}{1 \frac{1}{2}} = 1 \frac{1}{3}$ .

Bereken die verhouding ook in de driehoeken $A B C$ , $P Q R$ , $X Y Z$ en $D E F$ .

Een rechthoekige driehoek heeft een hoek van $9 °$ .
Als de aanliggende rechthoekszijde van de hoek van $9 °$ lengte $6$ cm heeft, dan is de overstaande rechthoekszijde $1$ cm lang. De driehoek wordt vergroot totdat de aanliggende rechthoekszijde $7$ cm is.

Bereken de lengte van de overstaande rechthoekszijde in twee decimalen.

Bereken in beide rechthoekige driehoeken de breuk $\frac{overstaande rechthoekszijde}{aanliggende rechthoekszijde}$ in twee decimalen.

Bij een scherpe hoek kun je een rechthoekige driehoek maken waar die hoek in zit.
De breuk $\frac{overstaande rechthoekszijde}{aanliggende rechthoekszijde}$ hangt niet af van hoe groot je die driehoek maakt.

Hiernaast hebben we de hoeken en bijbehorende breuken $\frac{verticale rechthoekszijde}{horizontale rechthoekszijde}$ die we gezien hebben in een tabel verzameld. Die breuken zijn op drie decimalen afgerond.

We nemen een rechthoekige driehoek met een hoek van $56 °$ .

Bereken de overstaande rechthoekszijde als de aanliggende rechthoekszijde $3$ cm lang is. Rond je antwoord af op twee decimalen.
Gebruik de tabel!

Bereken de aanliggende rechthoekszijde als de overstaande rechthoekszijde $3$ cm lang is. Rond je antwoord af op twee decimalen.

De tabel die we hierboven gemaakt hebben, kunnen we uitbreiden tot een tabel voor alle hoeken tussen $0$ en $90$ graden. Die staat hieronder.

De tabel gebruiken

Voorbeeld 1

Hiernaast staat een tekening op schaal van driehoek $A B P$ van opgave 2 van de vorige paragraaf. Daar heb je de lengte van $A B$ gemeten.
Je kunt die lengte ook met behulp van de tabel berekenen. In de tabel zie je bij hoek $39 °$ dat de breuk $\frac{overstaande rechthoekszijde}{aanliggende rechthoekszijde} = 0,810$ , dus $A B = 200 \cdot 0,810 \approx 162$ .
Vergelijk dat met jouw antwoord voor de afstand tussen de twee peilers in opgave 2.
Merk op dat je met de tabel sneller en nauwkeuriger werkt: je hoeft geen tekening te maken.

Voorbeeld 2

In opgave 7 heb je een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van $24$ en $35$ mm getekend.
De hoeken van die driehoek kun je met de tabel berekenen!
Voor het gemak geven we de hoekpunten van de driehoek namen: zie plaatje.
Voor hoek $B A C$ geldt: $\frac{overstaande rechthoekszijde}{aanliggende rechthoekszijde} = \frac{24}{35} \approx 0,686$ .
In de tabel kun je de bijbehorende hoek terugzoeken: tussen de $34$ en $35$ graden.
We houden het op $34$ graden ( $0,675$ ligt het dichtst bij $0,686$ ).
Dus $∠ B A C \approx 34 °$ en dan is $∠ A B C \approx 90 ° - 34 ° \approx 56 °$ .

In het plaatje staan drie rechthoekige driehoeken. De gegevens staan in de driehoeken.

Bereken de aangegeven hoek in driehoek $A B C$ met de tabel.

Bereken $P R$ in één decimaal.

Bereken $X Z$ in één decimaal.

Een ladder is uitschuifbaar. Jaap zet hem tegen een verticale muur. De voet van de ladder staat dan $15$ dm van de muur en hij komt $50$ dm hoog.

Hoe lang is de ladder?

Welke hoek maakt de ladder met de grond?
Bereken die hoek met behulp van de tabel.

Jaap verzet de ladder. De hoek die hij nu met de grond maakt is $56 °$ . Hij staat nu met de voet $25$ dm van de muur.

Bereken met de tabel hoe hoog de ladder nu komt.

Hoe lang is de ladder nu?

Bij een scherpe hoek kun je een rechthoekige driehoek maken waar die hoek in zit. Tot nu toe hebben we steeds de breuk (verhouding) $\frac{overstaande rechthoekszijde}{aanliggende rechthoekszijde}$ bekeken.
Je kunt ook andere breuken (verhoudingen) in de driehoek bekijken. Die staan in de tabel hieronder.

$\frac{overstaande rechthoekszijde}{schuine zijde}$	$\frac{schuine zijde}{overstaande rechthoekszijde}$
$\frac{aanliggende rechthoekszijde}{schuine zijde}$	$\frac{schuine zijde}{aanliggende rechthoekszijde}$
$\frac{overstaande rechthoekszijde}{aanliggende rechthoekszijde}$	$\frac{aanliggende rechthoekszijde}{overstaande rechthoekszijde}$

Ook deze breuken (verhoudingen) hangen niet van de grootte van de driehoek af.

Getekend is een rechthoekige driehoek met zijden van

3

4

5

. De hoek tegenover de zijde van

3

noemen we

α

Hoe groot is $α$ (meten)?

Bereken de zes breuken in de tabel hierboven voor deze hoek $α$ .

De breuken in de tweede kolom zijn de omgekeerden van de breuken in de eerste kolom. Als je de ene kolom kent, ken je de andere dus ook.

Bij een andere hoek is de eerste kolom van de breukentabel gegeven.

Geef de getallen van de tweede kolom.

Wij werken verder alleen met de breuken in de eerste kolom. Die breuken hebben aparte namen.