Veelvouden

Bekijk de rij getallen: $0, 3, 6, 9, 12, 15, \dots$
Het volgende getal in de rij vind je door 3 bij het vorige op te tellen.
De getallen in deze rij noemen we veelvouden van 3.
Ofwel: het zijn de getallen die deelbaar zijn door 3.
Let op: 0 is ook een veelvoud van 3.

Voorbeeld
27 is deelbaar door 3, want $27 : 3$ is een geheel getal.
28 is niet deelbaar door 3, want $28 : 3$ is geen geheel getal.

Hoe noem je de tweevouden meestal?

Hoeveel veelvouden van 3 zijn er die kleiner zijn dan 100? Volgens Paul zijn het er 33, volgens Ines 34. Ines heeft gelijk.
Welke fout maakt Paul?

We bekijken alle viervouden van 300 tot en met 400. Het eerste viervoud is 300, het tweede 304.

Wat is het vijfde viervoud? En het tiende?

Het hoeveelste is 400?

Hoeveel viervouden zijn er tussen 300 en 400, de getallen 300 en 400 daarbij inbegrepen?

We bekijken de rij $300, 303, 306, \dots,498$ , de rij van alle drievouden tussen 299 en 499.

Hoeveel getallen staan er in die rij? Schrijf je berekening op.

Is 657.821 een veelvoud van 2? En 1.234.578?

Hoe herken je veelvouden van 2?

Is 657.821 een veelvoud van 5? En 1.234.575?

Hoe herken je veelvouden van 5?

In de paragraaf extra opgaven zie je hoe je veelvouden van 3, 4, 8 en 9 kunt herkennen.

Schrijf alle getallen onder 100 op die zowel veelvoud van 2 als van 5 zijn.

Je hebt nu alle veelvouden van een getal onder 100 opgeschreven. Van welk getal?

Anneke schrijft alle getallen onder 1000 op die veelvoud van 4 en tegelijkertijd ook veelvoud van 3 zijn. Ze krijgt alle veelvouden onder 1000 van een zeker getal.

Van welk getal?

Getallen die zowel veelvoud van 5 als van 7 zijn, zijn veelvoud van een zeker getal.

Van welk getal?

Bepaal
$KGV (10,20)$
$KGV (15,20)$
$KGV (15,16)$
Wat $KGV$ betekent, kun je in het theorieblok vinden.

Zoals je ziet kan het $KGV$ van twee getallen een van die getallen zelf zijn.

Geef hiervan drie voorbeelden.

Het $KGV$ van twee getallen kan ook het product van die twee getallen zijn.

Geef hiervan ook drie voorbeelden.

Je hebt gezien dat de gemeenschappelijke veelvouden van 2 en 5 de veelvouden van 10 zijn. Het getal 10 is het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 2 en 5.
We schrijven dat zo op: $KGV (2,5) = 10$ .

Bepaal:
$KGV (6,12)$ ,
$KGV (10,15)$ ,
$KGV (32,25)$ .

Delers

4 is een deler van 12, want $12 : 4$ is een geheel getal;
5 is geen deler van 12, want $12 : 5$ is geen geheel getal.

Schrijf alle delers van 12 op. (Er zijn er zes.)

Schrijf de delers van 30 op.

Schrijf de getallen op die zowel deler van 12 als van 30 zijn.

In vraag c krijg je de delers van een zeker getal.

Welk?

De grootste gemeenschappelijke deler van 12 en 30 is 6, want 6 is het grootste getal dat zowel deler van 12 als van 30 is.

We schrijven dat zo op: $GGD (12,30) = 6$ .

Wat is $GGD (24,42)$ ? Schrijf zo nodig de delers van 24 en van 42 op.

Wat is $GGD (36,72)$ ?

Wat is $GGD (25,32)$ ?

In opgave 27 heb je voorbeelden gezocht van twee getallen waarbij het $KGV$ het product van die twee was.
Wanneer is (in het algemeen) het $KGV$ van twee getallen het product van die twee?

In de paragraaf extra opgaven zul je zien hoe je handig de $GGD$ van twee grote getallen kunt bepalen.

Priemgetallen

Schrijf drie getallen op die elk precies twee delers hebben.

Op het werkblad staat een honderdveld. Hierbij is het getal 1 doorgestreept.

Voer op dat honderdveld het blokschema uit.

In het begin was 1 al doorgestreept. Wat zou er gebeurd zijn als 1 niet was doorgestreept?

De omcirkelde getallen van het honderdveld zijn alle getallen onder 100 die precies twee delers hebben.

Getallen die precies twee delers hebben, noemen we priemgetallen.
2, 3, 31 zijn priemgetallen,
1, 4, 100 zijn geen priemgetallen.

Is 123 een priemgetal? Zo ja, waarom? Zo nee, waarom niet?

Wat is het kleinste priemgetal groter dan 100?

In opgave 32 heb je als het ware de priemgetallen uit het honderdveld gezeefd. Erathostenes was de uitvinder van deze zeeftechniek (de zeef van Erathostenes genaamd). Erathostenes hield zich naast de wiskunde ook bezig met astronomie. Hij berekende bijvoorbeeld de omtrek van de aarde en de afstand van de zon tot de aarde.

Meer over Erathostenes kun je lezen bij "kidzlab".