Patronen beschrijven met formules

In figuur 1 is een rij vierkante roosters getekend. Er zit regelmaat in de rij. De onderste twee rijen en de linker zijkant zijn gekleurd.

figuur 1

Teken het eerstvolgende patroon.

Neem de tabel over en vul hem in.

zijde vierkant	3	4	5	6	7
aantal gekleurde hokjes

Hoeveel gekleurde hokjes heeft het vierkant met zijde 20?

De leerlingen van klas 1a hebben onderdeel c op verschillende manieren opgelost.

Hans:	$3 \times 20 - 2$
Minke:	$20 \times 20 - 19 \times 18$
Stef:	Er komen steeds 3 gekleurde hokjes bij. Bij zijde 7 heb je 19 gekleurde hokjes. Dus bij zijde 20 komen er 13 keer 3 gekleurde hokjes bij. Het antwoord is dan $19 + 3 \times 13 = 58$ .
Irene:	$2 \times 20 + 18$
Paul:	Uit mijn tabel lees ik 58 af.
Ines:	$3 \times 19 + 1$

Controleer of deze berekeningen goed zijn.

Staat jouw berekening erbij?

Vaak kun je de manier waarop je iets berekend hebt, toelichten met een plaatje. In figuur 2 staan plaatjes die horen bij de berekeningen van klas 1a.

figuur 2

Schrijf op welk plaatje bij welke leerling hoort.

Dolf schrijft in zijn schrift:
"Het aantal gekleurde hokjes is $3 \times lengte zijde - 2$ ".
Hij heeft nu een regel gevonden waarmee hij voor elk vierkant uit de rij het aantal gekleurde hokjes kan bepalen.

Controleer of de regel van Dolf klopt.

Een regel als aantal gekleurde hokjes $= 3 \times lengte zijde - 2$ heet een formule. Een formule beschrijft heel precies het verband tussen grootheden (hier het aantal gekleurde hokjes en de lengte van de zijde). De woorden in een formule worden vaak vervangen door letters. De formule wordt dan:
$h = 3 \times z - 2$ .
Als je een formule zo opschrijft, moet je er wel bijzetten wat de letters betekenen:
$h$ is het aantal gekleurde hokjes;
$z$ is de lengte van de zijde.

Omdat de waarde van de letters kan variëren, noemen we deze variabelen.

Met behulp van stippen kun je patronen maken. In figuur 1 zie je de eerste vier V-patronen. Elk patroon heeft een nummer.

figuur 1

figuur 2

In figuur 2 zie je een V-patroon met 13 stippen.

Welk nummer hoort bij dit patroon?

Neem de tabel over en vul hem in.

nummer	1	2	3	4	5	6	7
aantal stippen	3

Hoeveel stippen heeft het V-patroon met nummer 25?

Bestaat er een V-patroon met 45.088 stippen? Geef uitleg.

Kun je met alle stippen van twee V-patronen (ze hoeven niet hetzelfde nummer te hebben) een nieuw V-patroon maken? Geef uitleg.

Bedenk een manier om bij een gegeven nummer het aantal stippen van het V-patroon te vinden.

Geef jouw manier ook in formulevorm. Noem het nummer $n$ en het aantal stippen in het V-patroon $V$ .

Je kunt jouw formule controleren door enkele getallen in te vullen.

Neem voor $n$ de waarden 3, 4 en 5 en ga na of je formule klopt.

Door wat stippen toe te voegen aan een V-patroon, krijg je een W-patroon. De eerste drie W-patronen zijn getekend.

Neem de tabel over en vul hem in.

nummer	1	2	3	4	5	6	7
aantal stippen	5

Hoeveel stippen heeft het W-patroon met nummer 25?

Bedenk een formule voor het aantal stippen in het patroon met nummer $n$ . Vergeet niet je formule te controleren.

Noem het W-getal $W$ en het V-getal $V$ . Wat is het verband tussen een W-getal en een V-getal met nummer $n$ ? Is dit $W = 2 \times V$ of toch niet?

In een vierkant van $n$ bij $n$ hokjes worden de hokjes op de diagonalen gekleurd. In de figuur zie je dat voor $n = 6$ en $n = 7$ .

Zoek een formule voor het aantal gekleurde hokjes. Onderscheid twee gevallen.

Zoek ook een formule voor het aantal witte hokjes. Onderscheid twee gevallen.

In een kubus van $n$ bij $n$ bij $n$ blokjes worden de blokjes op de vier lichaamsdiagonalen gekleurd.

Zoek een formule voor het aantal gekleurde blokjes. Onderscheid weer twee gevallen.

Afspraken over vermenigvuldigen

Voordat je verder kunt met het maken van formules, moeten we eerst een aantal afspraken maken.

Afspraak over het maal-teken

In formules zul je vaak de letter $x$ gebruiken. Dat geeft natuurlijk verwarring met de $\times$ van vermenigvuldigen. Daarom schrijf je voortaan in plaats van de $\times$ voor vermenigvuldiging een punt.
Dus $3 \times 5 = 15$ wordt nu $3 \cdot 5 = 15$ . En $12 \times x$ wordt $12 \cdot x$ .

Schrijf op de juiste manier volgens de afspraak en bereken de uitkomst:
$15 \times 3$
$4 \times 2,5$
$12 \times 6 \times 2$

Bereken:

$25 \cdot 4$	$4 \cdot 25$
$15 \cdot 6$	$6 \cdot 15$
$13 + 15$	$15 + 13$
$16 + 34$	$34 + 16$
$4 : 2$	$2 : 4$
$40 : 5$	$5 : 40$
$17 - 7$
$38 - 16$

Kun je ook $7 - 17$ en $16 - 38$ berekenen?

Welke van de volgende beweringen zijn juist (

a

b

stellen getallen voor)?

$a \cdot b = b \cdot a$	$a + b = b + a$
$a : b = b : a$	$a - b = b - a$

Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Denk aan de afspraak over volgorde. De eerste som is als voorbeeld al gemaakt.
$3 \cdot 5 \cdot a = 15 \cdot a$
$a \cdot 3 \cdot 4$
$3 \cdot a \cdot 6$

Voor de optelling maken we een dergelijke afspraak niet; of je nu $8 + a$ opschrijft of $a + 8$ , dat maakt niet uit.

Schrijf zo eenvoudig mogelijk; de eerste som is al gemaakt.
$a + 3 + 5 = a + 8$
$7 + a + 3$
$a + 9 + 5$

Afspraak over de volgorde

Als $x$ een getal is dan is $x \cdot 3$ hetzelfde getal als $3 \cdot x$ .
Voortaan schrijf je $x \cdot 3$ altijd als $3 \cdot x$ .
Net zo schrijf je $a \cdot 3$ als $3 \cdot a$ .
Dus bij het product van een getal en een variabele zet je altijd het getal voorop.

Oefenen met formules maken

Met lucifers kun je goed patronen leggen. Bekijk maar eens de figuur.

Neem de tabel over en vul hem in.

patroonnummer	1	2	3	4	5	6
aantal lucifers

Uit hoeveel lucifers bestaat het patroon met nummer 25?

Bestaat er een patroon met 708 lucifers? Geef uitleg.

Bedenk een formule waarmee je het aantal lucifers kunt berekenen als je het nummer van het patroon kent. Vergeet niet je formule te controleren.

De lucifers zijn in een ander patroon gelegd.

Bedenk zelf een manier hoe je het aantal lucifers kunt berekenen zonder de patronen te hoeven tekenen en vul hiermee de tabel in.

patroonnummer	4	7	10	30	100
aantal lucifers

Bestaat er een patroon met 40.996 lucifers? Geef uitleg.

Bedenk een formule waarmee je het aantal lucifers kunt berekenen als je het nummer van het patroon kent. Vergeet niet je formule te controleren.

Bekijk eens de vierkante roosters. De hokjes op de diagonaal zijn steeds gekleurd.

Bedenk een formule waarmee je het aantal gekleurde hokjes kunt berekenen als je de lengte van de zijde kent. Vergeet niet je formule te controleren.

Bedenk een formule waarmee je het aantal witte hokjes kunt berekenen als je de lengte van de zijde kent. Controleer je antwoord.

In deze opdracht bekijken we twee typen trappen, die zijn opgebouwd uit kubusjes. De trappen van hoogte 5 zijn afgebeeld. Trap 1 kun je van twee kanten bestijgen, trap 2 van vier kanten. De trappen zijn "hol" : de treden zijn twee blokken dik.

Uit hoeveel kubusjes is elk van deze twee trappen opgebouwd?

We maken nog twee van zulke trappen, maar dan groter: 7 kubusjes hoog.

Uit hoeveel kubusjes zijn de twee grotere trappen opgebouwd?

Geef bij elk type een formule voor het aantal kubusjes van de trap van hoogte $n$ .

Wil je meer oefenen met patronen en formules bij patronen, op een speelse manier, dan kan dat met de volgende twee applets:
Mini-loco stippenpatronen(1)

Mini-loco stippenpatronen(2)