3.4  Formules en gelijkheden >
Opstellen van gelijkheden
1

In figuur 1 is het terras van de heer Pieters getekend. Het telt 15 bij 15 tegels.
De heer Pieters maakt zijn terras breder: hij legt er aan de rechterkant een rij tegels bij.

figuur 1
a

Hoeveel tegels telt zijn nieuwe terras?

Anne en Vinja hebben elk op hun eigen manier het aantal tegels van het nieuwe terras van de heer Pieters uitgerekend.

b

Lees de redeneringen van Anne en Vinja goed en vul op de lege plekken de juiste getallen in.

Anne De lengte van het nieuwe terras is .... tegels.
De breedte van het nieuwe terras is .... tegels.
Het nieuwe terras heeft dus ..... ..... = ..... tegels.
Vinja Het oude terras had .... tegels.
Er komen .... tegels bij.
Het nieuwe terras heeft dus ..... + ..... = ..... tegels.

figuur 2

De heer Klaassen heeft ook een vierkant terras. We weten niet hoe breed het terras is. Het aantal tegels dat op één rij ligt noemen we n . Ook de heer Klaassen maakt z'n terras breder. Hij legt er aan de rechterkant een rij tegels bij. Zie figuur 2.
We gaan op de manier van Anne en Vinja berekenen hoeveel tegels het nieuwe terras telt.

c

Vul de lege plekken in de redenering van Anne in. Gebruik steeds de letter n .

Anne De lengte van het nieuwe terras is .... tegels.
De breedte van het nieuwe terras is .... tegels.
Het nieuwe terras heeft dus ..... ..... tegels.

d

Welke formule hoort bij de redenering van Anne?

Jonneke beweert dat de haakjes in n ( n + 1 ) overbodig zijn en schrijft als formule n n + 1 op.

e

Ga na of dit klopt.

f

Vul de lege plekken in de redenering van Vinja op. Gebruik steeds de letter n .

Vinja Het oude terras had .... tegels.
Er komen .... tegels bij.
Het nieuwe terras heeft dus ..... + ..... tegels.

g

Welke formule hoort bij de redenering van Vinja?

De formules van Anne en Vinja zien er verschillend uit. Toch zijn ze gelijk. Blijkbaar geldt n ( n + 1 ) = n 2 + n .

h

Ga dit na voor n = 5 en n = 10 .

De formules n ( n + 1 ) en n 2 + n zien er verschillend uit maar na het invullen van een willekeurig getal voor n geven ze dezelfde uitkomst.
Zo krijg je de gelijkheid: n ( n + 1 ) = n 2 + n .

2
4

Bekijk nog eens de roosters van opgave 9. De hokjes op de diagonaal zijn steeds gekleurd.

Anne en Vinja berekenen ieder op hun eigen manier het aantal witte hokjes bij het rooster van 100 bij 100 hokjes.

a

Lees de redeneringen van Anne en Vinja goed en vul op de lege plekken de juiste getallen in.

Anne Het hele rooster bestaat uit .... hokjes.
Van die hokjes zijn er .... gekleurd.
Dus zijn er ..... ..... = ..... witte hokjes.
Vinja Het rooster bestaat uit .... horizontale rijen.
In elke rij zijn er .... hokjes wit.
Dus in totaal zijn er ..... ..... = ..... witte hokjes.

b

Welke redenering heb jij bij opgave 9 gebruikt om het aantal witte hokjes te berekenen?

We bekijken nu een rooster van n bij n hokjes. We berekenen op twee manieren het aantal witte hokjes.

c

Vul de lege plekken in de onderstaande redeneringen op (gebruik de letter n ).

Anne Het hele rooster bestaat uit .... hokjes.
Van die hokjes zijn er .... gekleurd.
Dus zijn er ..... ..... witte hokjes.
Vinja Het rooster bestaat uit .... horizontale rijen.
In elke rij zijn er .... hokjes wit.
Dus in totaal zijn er ..... ..... witte hokjes.

d

Welke gelijkheid heb je nu gevonden?

3

In een rooster is de letter O in allerlei groottes gekleurd. De breedte van de letters varieert van 3 tot 6.

a

Hoeveel gekleurde hokjes telt elk van de O's?

b

Bereken op twee manieren het aantal gekleurde hokjes bij een breedte van 21.

c

Bedenk formules bij de twee manieren die je hebt gebruikt om het aantal gekleurde hokjes te berekenen. Noem de breedte van de letter b .

d

Welke gelijkheid heb je nu gevonden?

2s
4s

Bekijk de kubus met zijde 4 die is opgebouwd uit blokjes met zijde 1. Gekleurd worden de blokjes aan de randen van de kubus.

a

Hoeveel gekleurde blokjes telt de kubus met zijde 4?

b

Bereken op twee manieren het aantal gekleurde blokjes in een kubus met zijde 21.

c

Bedenk formules bij de twee manieren die je hebt gebruikt om het aantal gekleurde blokjes te berekenen. Noem de zijde van de kubus n .

d

Welke gelijkheid heb je nu gevonden?