Wat zijn driehoeksgetallen?

In de supermarkt is appelmoes in blik in de aanbieding. Jan, een creatieve medewerker van de supermarkt, stapelt midden in de winkel een driehoekstoren van blikken. Een voorbeeld van zo'n driehoekstoren bestaande uit 10 blikken is afgebeeld. Er staan 4 blikken op de onderste rij.

Hoeveel blikken heb je nodig om een driehoekstoren te bouwen met 6 blikken op de onderste rij?

Noem nog vier andere aantallen blikken waarmee je een driehoekstoren kunt bouwen.

Jan krijgt van zijn chef 50 blikken. Met die blikken bouwt hij een zo groot mogelijke driehoekstoren.

Hoeveel lagen telt de toren? Hoeveel blikken houdt Jan over?

Hoeveel blikken zijn er op de onderste rij als de toren 10 blikken hoog is?

Hoeveel blikken telt de toren dan in totaal?

Getallen die je door een driehoekig patroon kunt voorstellen worden driehoeksgetallen genoemd. Je kunt er een stippenplaatje bij maken. Het aantal stippen op de onderste rij heet de basis van het driehoeksgetal. In de figuur staat een stippenplaatje van het driehoeksgetal met basis 6.

Bekijk de stippenplaatjes van de driehoeksgetallen met basis 1, 2 en 3.

Teken zelf een stippenplaatje van de driehoeksgetallen met basis 4 en basis 5.

Neem de tabel over en vul de eerste tien driehoeksgetallen in.

basis	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
driehoeksgetal

Welk getal moet je bij het driehoeksgetal met basis 9 optellen om het driehoeksgetal met basis 10 te krijgen?

Het driehoeksgetal met basis 21 is 231.

Wat is dan het driehoeksgetal met basis 22?

En wat is het driehoeksgetal met basis 20?

Vinja is een ster met de computer. Ze heeft een programmaatje geschreven dat voor haar de eerste 1000 driehoeksgetallen heeft uitgerekend. Het driehoeksgetal met basis 1000 blijkt 500500 te zijn. Voor jou zal het geen probleem zijn om nu het driehoeksgetal met basis 1001 uit te rekenen.

Doe dat.

Als ik jou vraag om het driehoeksgetal met basis 300 uit te rekenen, zul je waarschijnlijk lang bezig zijn. Stel dat je er 100 euro mee kunt verdienen.

Hoe zou je het dan doen?

Driehoeksgetallen berekenen

figuur 1

In figuur 1 is een trap getekend. De onderste rij van de trap bestaat uit 12 hokjes. De rij daarboven bestaat uit elf hokjes, de rij daarboven uit 10, enzovoorts. Het aantal hokjes van de trap is dus $1 + 2 + 3 + \dots + 11 + 12$ .

Knip uit ruitjespapier twee keer deze trap.

Je kunt de twee trappen zo tegen elkaar schuiven dat er een rechthoek ontstaat.

Plak die rechthoek in je schrift.

Hoeveel hokjes hoog is de rechthoek? En hoeveel breed? Uit hoeveel hokjes bestaat de rechthoek?

De rechthoek bestaat uit twee trappen van 12 breed.

Hoeveel hokjes telt de trap van 12 breed?

Het driehoeksgetal met basis 12 kun je dus op twee manieren berekenen.

Eerste manier:	$1 + 2 + 3 + \dots + 11 + 12 = 78$
Tweede manier:	$13 \cdot 12 : 2 = 78$
Dus:	$1 + 2 + 3 + \dots + 11 + 12 = 13 \cdot 12 : 2$

figuur 2

In figuur 2 zie je twee trappen van 4 breed die samen een rechthoek vormen. De breedte van de rechthoek is 4 hokjes.

Hoeveel hokjes is de rechthoek hoog? Hoeveel hokjes telt de rechthoek dus?

Hoeveel hokjes telt de trap van 4 breed?

Neem de tabel over en vul hem in.

breedte van de trap	4	5	12	100
hoogte van de rechthoek
aantal hokjes van de rechthoek
aantal hokjes van de trap

Geef een formule waarmee je het aantal hokjes van de trap kunt berekenen als je de breedte van de trap kent. Gebruik voor de breedte van de trap de letter $b$ .

Bereken met behulp van de formule het aantal hokjes van een trap die 300 hokjes breed is.

Bereken de uitkomst:
$1 + 2 + 3 + \dots + 299 + 300$

Bereken de uitkomst (in je antwoord komt de letter $n$ voor):
$1 + 2 + 3 + \dots + (n - 1) + n$

Bekijk de driehoek bestaande uit witte en blauwe driehoekjes.

Hoeveel driehoekjes zijn er blauw?

En hoeveel driehoekjes zijn er wit?

Hoeveel driehoekjes zijn er in totaal? Is het totaal aantal driehoekjes een kwadraat?

Ed onderhandelt in december met zijn baas over zijn loon voor het nieuwe jaar. Zijn baas stelt voor, hem 20 euro per week te geven. Ed doet een tegenvoorstel: de eerste week wil hij één euro, de tweede week twee euro, de derde week drie euro, enzovoorts. Tot het einde van het jaar. Zijn baas is erg verbaasd over dit voorstel van Ed en gaat meteen akkoord.
Is dat een verstandige keus van de baas van Ed?

In de figuur staan de eerste vier rechthoeksgetallen en de eerste vier driehoeksgetallen met bijbehorende stippelpatronen.

Bedenk een formule waarmee je het rechthoeksgetal met basis $n$ kunt berekenen.

Vergelijk de rechthoeksgetallen en de driehoeksgetallen met elkaar.

Welke formule past bij het $n$ -de driehoeksgetal (met basis $n$ )?

Wat valt je op als je twee opeenvolgende driehoeksgetallen bij elkaar optelt?

Bereken met behulp van de formule voor de driehoeksgetallen de som van de eerste 300 getallen, dus $1 + 2 + 3 + \dots + 298 + 299 + 300$ .

figuur 1

In een fabriek worden ronde buizen met staaldraad gebundeld. De bundels zijn zeskantig. In figuur 1 staan de bundels met "basis" 2 en met "basis" 3 (de staaldraad is gestippeld).

In de bundel met basis 2 zitten zes buizen aan de buitenkant; in de bundel met basis 3 zijn dat er twaalf.

Hoeveel buizen zitten aan de buitenkant in de bundel met basis 4?

Zoek een formule voor het aantal buizen dat aan de buitenkant zit in de bundel met basis $n$ .

De bundel bij basis 5 telt in totaal 61 buizen.

Vind met dit gegeven hoeveel buizen de bundel met basis 6 in totaal telt.

figuur 2

In de figuur 2 zie je hoe je het zeshoeks-getal met basis 3 kunt krijgen door van het driehoeksgetal met basis 7 drie driehoeksgetallen met basis 2 af te trekken.

Bereken op deze manier het zeshoeksgetal met basis 3.

Bereken ook op deze manier het zeshoeksgetal met basis 4.

Je krijgt het zeshoeksgetal met basis $n$ wanneer je van een groot driehoeksgetal drie keer een klein driehoeksgetal aftrekt.

Wat is de basis van het grote driehoeksgetal?

En van het kleine driehoeksgetal?

Bereken nu het zeshoeksgetal met basis 10.

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

Carl Friedrich Gauss (één van de grootste wiskundigen aller tijden) verbaasde op 9-jarige leeftijd zijn meester met een slimme methode om de getallen 1 tot en met 100 op te tellen. De meester had deze som opgegeven. Terwijl zijn klasgenoten moeizaam rekenden, zag Gauss de truc en schreef de uitkomst meteen op zijn lei. Wil je weten hoe hij dit deed? Bestudeer dan "De truc van Gauss" op de site van De Wageningse Methode.

Wil je meer op een speelse en uitdagende manier oefenen met formules bij patronen, waarbij je soms ook de driehoeksgetallen nodig hebt, dan kan dat met de applet Stippenpatronen . Ze worden steeds moeilijker!