3.8  Extra opgaven
1

Met lucifers is een patroon gelegd.

a

Neem de tabel over en vul hem in.

patroonnummer

1

2

3

4

5

6

aantal lucifers

4

b

Uit hoeveel lucifers bestaat een patroon met nummer 50?

c

Bestaat er een patroon met 660 lucifers? Geef uitleg.

d

Bedenk een formule waarmee je het aantal lucifer kunt berekenen als je het nummer van het patroon kent. Vergeet niet je formule te controleren.

2

In figuur 1 is een vierkant tegelplateau getekend van 10 bij 10 tegels. Het tegelplateau wordt uitgebreid door er aan alle vier de kanten een rij bij te leggen. Zie figuur 2.

figuur 1
figuur 2
a

Hoeveel tegels worden er in totaal bijgelegd?

b

Bereken op twee manieren hoeveel tegels het nieuwe plateau telt.

figuur 3

Van een ander vierkant plateau weten we niet hoeveel tegels er liggen. Het aantal tegels dat er op één rij ligt noemen we n . Ook rondom dit tegelplateau wordt een nieuwe rij tegels aangelegd. Zie figuur 3.

c

Bereken op twee manieren hoeveel tegels het nieuwe plateau telt (in je antwoorden komt de letter n te staan).

d

Welke gelijkheid kun je nu opschrijven?

e

Controleer de gelijkheid voor n = 10 .

f

Je weet dat 100 2 = 10000 . Bereken op een handige manier 102 2 .

3

Een rechthoek is verdeeld is in vier stukken: I, II, III en IV.

a

Wat is de oppervlakte van stuk I? En van stuk II? En van stuk III? En van stuk IV?

b

Wat is dan de oppervlakte van de vier stukken samen?

c

Je kunt de oppervlakte van de rechthoek op nog een andere manier schrijven. Doe dat.

d

Welke gelijkheid vind je?

e

Controleer de gelijkheid voor a = 3 en b = 12 .

Anne heeft ook een gelijkheid bij een rechthoek gemaakt. Het plaatje van de rechthoek kan ze niet meer vinden. De gelijkheid is:
( x + 1 ) ( y + 3 ) = x y + 3 x + y + 3 .

f

Teken de rechthoek bij Annes gelijkheid.

4
a

Bereken het driehoeksgetal met basis 27.

b

Bereken 1 + 2 + 3 + + 148 + 149 + 150 .

5

Schrijf zonder haakjes zo eenvoudig mogelijk.
5 ( x + 2 )
( x + 2 ) 8
3 ( 9 c )
( p 2 ) a
a ( p + a )
2 ( p + 3 )

6

Neem de opgaven over en vul de lege plekken in.
3 ( x + ... ) = 3 x + 18
3 ( x ... ) = ..... 3
... ( p 4 ) = 6 p .....
... ( p + 4 ) = ..... + 20
... ( ... ... ) = p 2 10 p

7

Maak de volgende sommen op een handige manier. Gebruik daarbij de distributiewetten.
499 8 + 501 8
499 a + 501 a
765 4 760 4
123 7 20 7 3 7
13 102
998 14

8

Anne krijgt elk jaar van haar vader rozen op haar verjaardag: net zo veel als ze oud is geworden. Op haar eerste verjaardag kreeg ze één roos; op haar tweede kreeg ze er twee, enzovoorts. Dit jaar is Anne 20 geworden en kreeg ze dus 20 rozen. Hoeveel rozen heeft Anne in totaal al van haar vader gehad?

9

Bij het getal 12 kun je een "stapel" maken; zie de figuur. In elke volgende rij is er één rondje meer. Dat dat kan, komt doordat 12 = 3 + 4 + 5 . Zo'n getal noemen we een stapelgetal.

  • Een stapelgetal is de som van (minstens twee) opeenvolgende getallen.

  • 20 is een stapelgetal, want 20 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 (een stapel van hoogte 5).

  • 11 is ook een stapelgetal, want 11 = 5 + 6 (een stapel van hoogte 2).

  • Een stapel moet minstens hoogte 2 hebben.

  • Niet alle getallen zijn stapelgetallen. Het kleinste stapelgetal is 3.

a

Onderzoek welke getallen stapelgetallen zijn en welke niet. Ga tot en met 40.

b

Elk oneven getal is een stapelgetal. Kun je dat uitleggen?

c

Bekijk de getallen goed die geen stapelgetal zijn. Wat - denk je - is het volgende getal dat geen stapelgetal is?

10

Om te voorkomen dat de kanonskogels over het dek van een schip rolden, werden ze vroeger op een speciale manier gestapeld (zie de foto). Sir Walter Raleigh (gunsteling van koningin Elizabeth I, zeevaarder en avonturier) was door zijn beroep geïnteresseerd in het netjes opstapelen van kanonskogels. Hij vroeg zich af of er een manier is om het aantal kanonskogels te berekenen dat nodig is voor een piramide met een willekeurige hoogte. Hij ging met dit probleem naar zijn wis- en sterrenkundig adviseur Thomas Harriot. Harriot begon met het opstellen van een tabel.

aantal lagen

1

2

3

4

5

6

7

aantal kogels

a

Neem de tabel over en vul hem in.

Harriot loste vervolgens het probleem zonder moeite op. Hij vond de formule
K = L ( L + 1 ) ( 2 L + 1 ) : 6 .
In deze formule stelt K het aantal kogels voor en L het aantal lagen.

b

Controleer of de formule klopt voor L = 1 tot en met L = 7 .

Nadat Harriot de formule voor het aantal kanonskogels had gevonden, werd het probleem moeilijker gemaakt. De vraag rees wat het kleinste aantal kanonskogels is waarmee je zowel een vierkant als een piramide kunt maken.

c

Het aantal kanonskogels moet in dat geval een kwadraat zijn. Leg uit waarom.

Een oplossing van dit probleem is een piramide bestaande uit 1 laag en dus ook uit 1 kogel. Maar zijn er meer oplossingen voor dit probleem?

d

Onderzoek of het lukt om zowel een vierkant als een piramide te maken wanneer het aantal kanonskogels tussen 0 en 400 ligt.

Ook dit probleem werd opgelost. Het blijkt dat met de kogels van een piramide bestaande uit 24 lagen een vierkant gevormd kon worden.

e

Bereken uit hoeveel kogels de piramide bestaat. Gebruik hiervoor de formule uit onderdeel b.

f

Wat zijn de afmetingen van het vierkant dat met de kogels gemaakt kan worden?

Het was de wiskundige Watson die in 1918 bewees dat dit ook de enige oplossing van het probleem is.

11

Op een dunne grasspriet lopen vijftig mieren richting het uiteinde. Ze lopen allemaal met dezelfde snelheid. Wanneer een mier bij het uiteinde aankomt, keert hij om. Wanneer twee mieren elkaar tegenkomen dan botsen ze en keren allebei om. Hoeveel botsingen vinden er in totaal plaats?

12

Een schaakbord heeft acht rijen van elk acht vierkantjes. Dus heb je vierenzestig vierkantjes, de zogenaamde velden. Maar er zitten meer vierkanten verstopt in het schaakbord. In het plaatje is een 2 × 2 -vierkant (van vier velden dus) getekend en een 3 × 3 -vierkant.

a

Onderzoek hoeveel 2 × 2 -vierkanten er in het schaakbord verstopt zitten?

b

En hoeveel 3 × 3 -vierkanten?

c

En hoeveel n × n -vierkanten?

d

Hoeveel vierkanten zitten er in totaal in het schaakbord verstopt?

e

Onderzoek nu hoeveel vierkanten er in totaal in een dambord ( 10 × 10 velden) verstopt zitten.

13

In een museum in Bruchsal (Duitsland) staan de afgebeelde kaartenhuizen. Kinderen hadden grote kaarten beschilderd en die op een bepaalde manier opgestapeld. Je kunt deze bouwwerken zelf ook maken met gewone speelkaarten.

Nummer de kaartenhuizen: 1, 2, 3, 4, 5.

a

Hoeveel kaarten heb je nodig voor elk van deze kaartenhuizen?

b

Hoeveel kaarten heb je nodig voor het kaartenhuis met nummer n ( n is een variabele)?