<
5.4  Tellen in de ruimte >
Hoofdstukken > De ruimte in
Regelmatige veelvlakken
1
a
A bij 5; B bij 4; C bij 2; D bij 1; E bij 3
b
...
c

A: 4 hoekpunten, 4 grensvlakken, 6 ribben

B: 6 hoekpunten, 8 grensvlakken, 12 ribben

C: 20 hoekpunten, 12 grensvlakken, 30ribben

D: 8 hoekpunten, 6 grensvlakken, 12 ribben

E: 12 hoekpunten, 20 grensvlakken, 30 ribben

2

A heeft vierhoekige en driehoekige grensvlakken. Bij B komen niet in elk hoekpunt evenveel ribben samen. Bij C komen niet in elk hoekpunt evenveel ribben samen. D heeft vierhoekige en driehoekige grensvlakken. E heeft vierhoekige en driehoekige grensvlakken. Bij F komen niet in elk hoekpunt evenveel ribben samen.

3
a
...
b

Een kubus heeft 6 grensvlakken, in elk grensvlak liggen 4 ribben. Een kubus heeft dus 6 · 4 : 2 = 12  ribben. Ik moet delen door 2, omdat elke ribbe in 2 grensvlakken ligt. Anders tel ik ze 2 keer.

4
a

In elk grensvlak liggen 3 ribben en elke ribbe ligt in 2 grensvlakken. Er zijn dus 8 · 3 : 2 = 12  ribben. In elk grensvlak liggen 3 hoekpunten en elk hoekpunt ligt in 4 grensvlakken. Er zijn dus 8 · 3 : 4 = 6  hoekpunten.

b

In elk grensvlak liggen 5 ribben en elke ribbe ligt in 2 grensvlakken. Er zijn dus 12 · 5 : 2 = 30  ribben. In elk grensvlak liggen 5 hoekpunten en elk hoekpunt ligt in 3 grensvlakken. Er zijn dus 12 · 5 : 3 = 20  hoekpunten.

c

In elk grensvlak liggen 3 ribben en elke ribbe ligt in 2 grensvlakken. Er zijn dus 20 · 3 : 2 = 30  ribben. In elk grensvlak liggen 3 hoekpunten en elk hoekpunt ligt in 5 grensvlakken. Er zijn dus 20 · 3 : 5 = 12  hoekpunten.

5
7

Hoekpunten: De figuur heeft net zoveel hoekpunten als de kubus ribben heeft, dus 12 hoekpunten.
Grensvlakken: De figuur heeft 6 vierkante en 8 driehoekige grensvlakken. Dus er zijn 6 + 8 = 14 grensvlakken.
Ribben: Elke ribbe is een zijde van een vierkant grensvlak. De figuur heeft dus 6 · 4 = 24 ribben. Of: elke ribbe is een zijde van een driehoekig grensvlak. De figuur heeft dus 8 · 3 = 24 ribben.

6

Hoekpunten: 8 hoekpunten zijn van de oorspronkelijke kubus en 6 hoekpunten zijn toppen van de piramides. De figuur heeft dus 8 + 6 = 14 hoekpunten.
Grensvlakken: Elk van de 6 piramides levert 4 grensvlakken. De figuur heeft dus 6 · 4 = 24 grensvlakken.
Ribben: 12 ribben zijn van de oorspronkelijke kubus en elke piramide levert nog 4 extra ribben. De figuur heeft dus 12 + 6 · 4 = 36 ribben.

5s
7s
a

De zaagvlakken zijn regelmatige vijfhoeken, wat er van de driehoekige grensvlakken overblijft zijn regelmatige zeshoeken.

b

Hoekpunten: ( 12 ⋅ 5 + 20 ⋅ 6 ) : 3 = 60 , want elk hoekpunt wordt drie keer geteld.
Ribben: ( 12 ⋅ 5 + 20 ⋅ 6 ) : 2 = 90 , want elke ribbe wordt twee keer geteld.
Grensvlakken: 12 + 20 = 32

Diagonalen tellen
8
12
a
b
c
5, 9
9
13
a
b

Omdat je ze anders dubbel telt.

c

21 − 7 = 14 diagonalen

d

Tussen 13 punten kun je 13 · 12 : 2 = 78  verbindingslijntjes trekken. Van deze 78 verbindingslijntjes zijn er 13 zijden van de dertienhoek en de rest, dus 65 diagonalen.

e

100 · 99 : 2 = 4950 verbindingslijntjes, dus 4950 − 100 = 4850  diagonalen

10
14
a

4

b

12

c

12

d

Elk verbindingslijntje is óf een ribbe, óf een binnendiagonaal óf een buitendiagonaal.

11
a
b
c

In elk rechthoekig grensvlak: 2
In elk vijfhoekig grensvlak: 5
In totaal: 2 · 5 + 5 · 2 = 20

d

5 · 2 = 10 (Van de achterkant hoef je er geen meer te tellen, want die heb je bij de voorkant al gehad.)

e

3 · 5 = 15

8s
12s
a

4 vanuit elk hoekpunt, dus in totaal 4 ⋅ 7 : 2 = 14

b

Er zijn 7 zijden, dus 21 − 7 = 14  verbindingslijntjes zijn diagonalen.

c

1 2 n ( n − 1 ) − n of ook: n ( n − 3 ) : 2

9s
13s
a

3

b

In twee rechthoekige grensvlakken elk 1, in het zeshoekig grensvlak 3, dus 5 in totaal.

c

6 ⋅ 5 = 30  buitendiagonalen en 6 ⋅ 3 = 18  binnendiagonalen.

d

6 ⋅ 3 = 18 ribben. Er zijn dus 18 + 30 + 18 = 66  verbindingslijntjes.

e

Het aantal verbindingslijntjes tussen 12 punten is: 1 2 ⋅ 12 ⋅ 11 = 66 . Het klopt.

10s
14s
a

1 2 ⋅ 200 ⋅ 199 = 19900

b

3 ⋅ 100 = 300  ribben, 100 ⋅ ( 97 + 2 ) = 9900  buitendiagonalen, 100 ⋅ 97 = 9700  binnendiagonalen

c

300 + 9900 + 9700 = 19900 , klopt.

Routes tellen
15
a
b
3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 kortste routes
c

6 ⋅ 6 = 36 kortste routes