5.6  Extra opgaven
1

Van een kubus is de bovenste helft gekleurd. In de uitslagen is het grensvlak dat helemaal gekleurd is, aangegeven.

Kleur op het werkblad de delen van de andere grensvlakken die oker moeten zijn.

2

Als je een bol doorzaagt, heeft het zaagvlak altijd de vorm van een cirkel.

Welke vormen kun je voor het zaagvlak krijgen als je een cilinder doorzaagt?

3

Van een regelmatige vierzijdige piramide wordt de top afgezaagd. We noemen de figuur die zo ontstaat een afgeknotte piramide. Het zaagvlak gaat door de middens van de ribben die naar de top lopen. In de figuur zie je de piramide met het zaagvlak.

a

Teken het bovenaanzicht van de afgezaagde piramide en kleur het zaagvlak. Neem aan dat alle ribben 4 cm zijn.

b

Maak een uitslag van de afgeknotte piramide.

4

De volgende plaatjes zijn uitslagen van ruimtelijke figuren: een balk, een driezijdige piramide, een vierzijdige piramide en een driezijdig prisma. Maar in elke uitslag zit één fout.

Verbeter de fouten op het werkblad.

5

In een voorgaande opgave 26 heb je het aantal binnen- en buitendiagonalen van een kubus berekend: 12 buitendiagonalen en 4 binnendiagonalen.
Controleer de aantallen met behulp van de formule voor het aantal verbindingslijntjes tussen punten.

6

In de linkerfiguur is een "dambord" van 4 bij 4 getekend. Op elk van de zestien velden is aangegeven hoeveel schijven er op elkaar gestapeld staan. Daarnaast is getekend wat je "van voor" ziet, dus een vooraanzicht. We nemen aan dat de stenen even breed zijn als de velden.

a

Teken een zijaanzicht op roosterpapier. Neem voor de breedte van een steen 1 cm en voor de hoogte 1 2  cm.

Je kunt schijven van het bord nemen zonder dat het voor- en het zijaanzicht verandert.

b

Hoeveel schijven kun je maximaal wegnemen?

In plaats van schijven weg te nemen, kun je er ook schijven bijzetten zonder het voor- en het zijaanzicht te veranderen.

c

Zoek uit hoeveel schijven je er nog maximaal bij kunt plaatsen.

7

Van een driezijdige prisma zijn alle ribben 4 cm lang.

a

Teken een uitslag van het prisma. Gebruik de passer.

b

Teken plakrandjes aan de uitslag en zet hem in elkaar.

8

Deze fraaie ster krijg je door op elk grensvlak van een regelmatig achtvlak een regelmatig viervlak te plakken.

Hoeveel grensvlakken, ribben en hoekpunten heeft de ster? (Een regelmatig achtvlak heeft 12 ribben en 6 hoekpunten.)

9

Van de vierzijdige piramide in de figuur is het grondvlak een vierkant met zijden van lengte 4 cm. De hoogte van de piramide is 3 cm. (Dus de top van de piramide ligt 3 cm boven het grondvlak.)
We gaan een uitslag van de piramide maken. Maar driehoek A B T bijvoorbeeld, kunnen we niet direct tekenen, want we weten niet hoe lang de opstaande ribben van de piramide moeten worden. We kunnen daar achter komen door eerst driehoek A C T te tekenen.

a

Teken driehoek A C T . Geef duidelijk aan hoe je tekening tot stand gekomen is.

Je weet nu hoe lang de opstaande ribben van de piramide moeten zijn.

b

Maak nu een uitslag van de piramide.

10

Jaap heeft van 27 kubusjes één grote gemaakt. Hij haalt acht van de 27 kubussen op de hoeken weg. Hier zie je hoe het bouwsel er uitziet nadat er één weggehaald is.

Bereken het aantal hoekpunten, ribben en grensvlakken van de figuur die Jaap krijgt.

11

Je ziet de uitslag en een ruimtelijk plaatje van het regelmatige viervlak met hoekpunten A , B , C en D getekend. M is het midden van A B en N is het midden van A M .

a

Zet in de uitslag op het werkblad de goede letters bij de hoekpunten en geef ook de punten M en N aan (eventueel meerdere keren).

Een mier loopt over de grensvlakken van het viervlak. Het startpunt van zijn route is M . Eerst loopt hij over grensvlak A B C . Over dit vlak loopt hij evenwijdig aan A C . Dan loopt hij over grensvlak B D C en wel evenwijdig aan B D . Dan loopt hij over vlak A C D evenwijdig aan A C en ten slotte over vlak A B D evenwijdig aan D B .

b

Teken op het werkblad de route van de mier in de ruimtelijke figuur en ook in de uitslag.

Een andere mier doet hetzelfde als de eerste mier, met dit verschil dat hij in N start.

c

Teken de route van de tweede mier (in een andere kleur) in de ruimtelijke figuur en in de uitslag.

d

Wat kun je zeggen over de lengtes van de routes van de twee mieren?

12

Je ziet een tekening van een regelmatig twaalfvlak en een deel van zijn uitslag. Aan de uitslag ontbreekt nog één grensvlak. Dit grensvlak kan op vijf verschillende plaatsen getekend worden.

a

Kleur op het werkblad de ribben waaraan dit grensvlak getekend kan worden.

In een grensvlak van het twaalfvlak kunnen vijf buitendiagonalen getekend worden. Het twaalfvlak heeft 30 ribben en 20 hoekpunten.

b

Bereken het aantal binnendiagonalen van het regelmatige twaalfvlak. Schrijf je berekening op.

13

De stapel kogels op de foto heeft de vorm van een regelmatige vierzijdige piramide.

a

Hoeveel kogels liggen er op de derde laag van boven?

b

Hoeveel kogels liggen er op de stapel? Schrijf op hoe je aan je antwoord komt.

14

De volgende onderzoeksvraag komt uit een prijsvraag die professor Hans Freudenthal plaatste in jaargang 10 van het tijdschrift Pythagoras.

Een schaakbord bestaat uit een vierkant, verdeeld in 64 afwisselend zwarte en witte velden. Op een van de velden van zo'n schaakbord ligt een dobbelsteen waarvan de grensvlakken precies op de velden van het schaakbord passen. Je kunt de dobbelsteen over het schaakbord verplaatsen door hem te kantelen om een van zijn ribben, zodat hij precies op één van de buurvelden komt te liggen. Door achtereenvolgende kantelingen kun je vanuit elk veld elk ander veld op het schaakbord bereiken.

Kies een startveld uit en leg daar de dobbelsteen neer. Kies nu een doelveld. Kun je door te kantelen de dobbelsteen op het doelveld krijgen met elk aantal ogen dat je wilt aan de bovenkant?

15

Ook in Pythagoras, 40e jaargang nummer 6, beschrijft Herman Alink de tetrakubuspuzzel. Dit is een onderzoekje voor knutselaars. Met vier kubusjes kun je in totaal acht verschillende vormpjes maken. In het plaatje zijn er vier getekend.

a

Teken de andere vier mogelijkheden.

Je hebt nu de acht mogelijke tetrakubusjes getekend (tetra betekent vier in het Grieks).
Om dit onderzoekje te doen is het noodzakelijk om die ook echt te hebben. Leerlingen die aan de Kangoeroewedstrijd van 2006 mee hebben gedaan, hebben ze als presentje gekregen. Misschien heeft je leraar ze ook wel. Anders moet je ze zelf maken. Daarvoor heb je 32 kubusjes nodig, te kopen in een doe-het-zelfzaak of hobbywinkel, die je met houtlijm aan elkaar kunt plakken.

b

Als je een van de acht tetrakubusjes kiest en vergroot met de factor 2, dus zowel in de lengte, de breedte als de hoogte twee keer zo groot maakt, hoeveel kleine kubusjes heb je dan nodig?

Het zal je wellicht zijn opgevallen dat je voor zo'n vergroting met factor 2 van een van de tetrakubusjes net zoveel kleine kubusjes nodig hebt als voor de acht tetrakubusjes samen. In het plaatje zie je zo'n vergroting. Deze is gemaakt met de acht kleine tetrakubusjes (de laatste wordt er nog net aangelegd).

c

Laat zien dat je de andere zeven vergrotingen ook met de acht kleine tetrakubusjes kunt leggen.

16

We bekijken een bouwsel van dertien donker en veertien licht gekleurde kubusjes.

Een kubusworm bevindt zich in het hart van het bouwsel. Hij heeft het plan zich een weg door de kubus te eten en daarbij elk licht en elk donker kubusje één keer aan te doen. Hij begint dus met het donkere kubusje in het midden. Ga na of het plan van de kubusworm uitvoerbaar is. Schrijf op hoe je het antwoord gevonden hebt.

17

Van een kubus worden de hoekpunten afgezaagd.

a

Hoeveel ribben, hoekpunten en grensvlakken heeft de afgezaagde kubus?

b

Hoeveel binnendiagonalen kun je vanuit één punt tekenen?

c

Hoeveel binnendiagonalen heeft de afgezaagde kubus dus?

d

Hoeveel buitendiagonalen heeft de afgezaagde kubus?

e

Controleer je antwoorden op de vorige vragen met: aantal binnendiagonalen +  aantal buitendiagonalen +  aantal ribben =  aantal verbindingslijntjes tussen twaalf punten.

18

Balk A B C D . E F G H is 2 bij 2 bij 4 cm. De balk is doorzichtig. Een mier kruipt langs de grensvlakken van de balk omhoog. Haar weg is overal even steil.
Het punt waar zij ribbe B F passeert noemen we P . P ligt op 2 3  cm hoogte.
De uitslag van de balk is bijna af. Er ontbreekt nog één grensvlak.

a

Teken dat grensvlak er op het werkblad bij.
Schrijf bij elk hoekpunt de juiste naam.

Je had het ontbrekende grensvlak ook aan andere ribben vast kunnen tekenen.

b

Kleur die ribben.

c

Teken de weg die de mier volgt in de uitslag.

Een andere mier start in het midden van ribbe A B en volgt een weg met dezelfde stijging als de eerste mier.

d

Teken de weg van de tweede mier in de uitslag.

In de balk is een draad gespannen. In de figuur zie je het voor- en het rechter zijaanzicht van de draad.

e

Teken de draad heel precies in de balk op het werkblad.

19

Van kubus A B C D . E F G H met ribben van 4 cm wordt een hoek afgezaagd. Het zaagvlak is driehoek M N G , waarbij M en N middens van ribben zijn.

a

Teken een voor- en een bovenaanzicht van de afgezaagde kubus.

b

Maak het plaatje op het werkblad af tot een uitslag van de afgezaagde kubus. Daarvoor moeten nog drie grensvlakken getekend worden.
Teken die alledrie aan grensvlak A B N M E vast.

c

Zet bij elk hoekpunt de juiste naam.

Eén van de lichaamsdiagonalen van de afgezaagde kubus heeft grenspunt A . Om de lengte van deze diagonaal te bepalen bekijken we rechthoek A C G E .

d

Maak een tekening van rechthoek A C G E . Geef duidelijk aan hoe je de breedte en de hoogte van die rechthoek gevonden hebt.

e

Meet de lengte van de lichaamsdiagonaal met grenspunt A .

f

Hoeveel lichaamsdiagonalen hebben grenspunt M ?
Zijn die even lang?

g

Teken een rechthoek waarin je de lengte van de lichaamsdiagonalen vanuit punt M kunt meten. Zeg precies hoe je de breedte en de hoogte van die rechthoek bepaald hebt.

h

Hoeveel lichaamsdiagonalen heeft de afgezaagde kubus?

De volgende opgave zal je beter afgaan als je de applet Blokken gebruikt.

20

Je ziet een stapel van 27 blokken. Die vormen een kubus. Als je een blok uit de stapel wegneemt, blijven de blokken daarboven op hun plaats. Door blokken weg te nemen, kun je een bouwwerk krijgen met precies de aanzichten die eronder staan.

a

Hoeveel blokken kun je dan minimaal wegnemen?

b

Hoeveel blokken kun je maximaal wegnemen?

21

In de figuur zie je een mozaïek uit de San Marco kathedraal in Venetië. Het stelt een regelmatig twaalfvlak voor met op de grensvlakken regelmatige vijfzijdige piramides.

Bereken het aantal hoekpunten grensvlakken en ribben van de figuur.
Je mag gebruiken dat een regelmatig twaalfvlak 20 hoekpunten en 30 ribben heeft.