Met plaatjes

Bekijk eens het rooster in figuur 1. Elk hokje in het rooster is $x$ bij $y$ .

figuur 1

figuur 2

Je kunt je in het rooster alleen verplaatsen via roosterlijnen, dus alleen horizontaal of verticaal. In het rooster zijn drie punten aangegeven A, B en C. Een route van A naar B zonder omwegen noemen we een kortste route. In figuur 2 is één van de zes kortste routes van A naar B getekend.

Kleur zelf op het werkblad de andere vijf kortste routes.

Schrijf onder elke route de lengte.

Hoeveel verschillende kortste routes zijn er van B naar C? Als je wilt kun je ze op je werkblad tekenen.

Hoe lang is zo'n kortste route van B naar C?

Hoeveel kortste routes zijn er van A via B naar C?

Hoe lang is elk van die kortste routes van A via B naar C? Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Op een braakliggend stuk grond wordt een volkstuinencomplex aangelegd (zie de plattegrond). Er komen 15 volkstuintjes: 3 rijen van 5 tuintjes. Tussen de rijen liggen twee paden. Elk van de tuintjes is $a$ bij $b$ meter. Elk tuintje is rondom afgezet met gaas (tussen twee tuintjes in is er maar één keer gaas).
Hoeveel meter gaas wordt er gespannen? Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

De Deense vlag bestaat uit een wit kruis op een rood doek. Het kruis is overal $c$ centimeter breed. Het rode deel van de vlag bestaat uit twee vierkanten en twee rechthoeken. De vierkanten zijn $a$ bij $a$ centimeter en de rechthoeken zijn $a$ bij $b$ centimeter. De maten zijn ook nog eens aangegeven in het plaatje van de Deense vlag.

Je kunt de oppervlakte van de vlag op twee manieren berekenen.

1^e manier: vierkanten en rechthoeken apart tellen

Wat is de oppervlakte van de vier rode delen samen? Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Door vier lijntjes te trekken kun je het witte kruis verdelen in vier rechthoeken en een vierkant.

Laat zien dat de totale oppervlakte van het kruis gelijk is aan $3 a c + b c + c^{2}$ .

Hoe groot is dus de oppervlakte van de vlag?

2^e manier: $lengte \cdot breedte$

Wat is de lengte van de vlag? En de breedte? Schrijf je antwoorden zo eenvoudig mogelijk.

Hoe groot is dus de oppervlakte van de vlag?

Welke gelijkheid vind je?

Bereken hoe groot de oppervlakte van de vlag is als $a = 20$ , $b = 40$ en $c = 10$ .

Hoe groot is in dat geval de oppervlakte van het witte kruis?

figuur 1

De balk in figuur 1 is $a$ bij $b$ bij $c$ centimeter.

Wat is de inhoud van de balk?

In figuur 2 zie je een uitslag van de balk.

figuur 2

Wat is de oppervlakte van de uitslag? Schrijf je antwoord zonder haakjes zo eenvoudig mogelijk.

Wat is de omtrek van de uitslag (dat is de lengte van de rand van de uitslag)? Schrijf je antwoord weer zo eenvoudig mogelijk.

Ontwerp een uitslag van de balk met een zo klein mogelijke omtrek. Hoe groot is de omtrek van jouw uitslag? Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Zonder plaatjes

Voor welke waarden van $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ en $f$ kloppen alle zes de sommen.

Wat verandert er aan de antwoorden als $a$ niet 2 is maar 4?

Neem het schema over en vul de open plaatsen in.

Plaats haakjes links van het gelijkteken, zodanig dat de gelijkheid klopt.
$n + 2 \cdot n + 3 = 3 n + 6$
$n + 2 \cdot n + 3 = n^{2} + 2 n + 3$
$n + 2 \cdot n + 3 = 3 n + 3$
$n + 2 \cdot n + 3 = n^{2} + 5 n + 6$

Tot slot keren we terug naar de vreemde rij aan het begin van dit hoofdstuk (opgave 1). In deze rij spelen vier opeenvolgende getallen de hoofdrol. We noemen deze getallen $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ en $n + 3$ . Het vermoeden is dat: $(n + 1) \cdot (n + 2) - n \cdot (n + 3) = 2$ , voor alle getallen $n$ .

Teken een plaatje bij de uitdrukking $(n + 1) \cdot (n + 2)$ .

Teken een plaatje bij de uitdrukking $n \cdot (n + 3)$ .

Leg aan de hand van de plaatjes uit dat
$(n + 1) \cdot (n + 2) - n \cdot (n + 3) = 2$ .