De decimale schrijfwijze van een breuk is repeterend. Dat wil zeggen dat de decimalen zich exact gaan herhalen, steeds in dezelfde volgorde. Soms begint de herhaling meteen na de komma, soms wat later; maar het gebeurt altijd. Nog wat voorbeelden.

$\frac{4}{7} = 0,$ 571428 $57142857 \dots$
$\frac{73}{111} = 0,6576576576 \dots$
$\frac{39}{16} = 2,43750000 \dots$
$\frac{101}{22} = 4,5909090 \dots$
$\frac{89}{1320} = 0,0674242424 \dots$
$\frac{8}{17} = 0,470588235294117647058823529411764 \dots$

Bij de eerste breuk is het groepje zich herhalende decimalen cursief gezet en oker gekleurd.

Wat is een zo kort mogelijk repeterend stukje bij de andere vijf decimalen breuken?

Wat is de honderdste decimaal van elk van de zes decimale breuken?

De lengte van een zo kort mogelijk groepje zich herhalende decimalen heet de periode van de decimale breuk.
Voorbeeld: de periode van de decimale breuk $\frac{4}{7}$ hierboven is $6$ .

Wat is de periode van de andere vijf decimale breuken?

Van een zekere decimale breuk $x$ is de periode 4.

Wat is dan de periode van $2 x$ , $2 + x$ , $\frac{1}{2} x$ , $\frac{1}{2} + x$ ?

We weten nu: van elke breuk is de decimale schrijfwijze repeterend.
Het is goed mogelijk dat je op je rekenmachine de herhaling niet kunt zien. Namelijk als de periode 10 of meer is. Immers een rekenmachine geeft maar tien cijfers (of minder).

Niet alle decimale breuken zijn repeterend. Bekijk maar eens de decimale breuk:

$0,101001000100001000001 \dots$

Wat zijn de volgende tien decimalen?

Weliswaar herhalen de 0-en en 1-en zich steeds, maar de decimale breuk is niet repeterend.

Waarom niet?

Welke van de volgende decimale breuken zijn wel en welke zijn niet repeterend? Zeg van elke repeterende breuk wat de periode is.
$1,772323232323 \dots$
$1,2807777777 \dots$
$1,02002000200002 \dots$
$1,919291929192 \dots$
$1,23400000000 \dots$
$1,234223422234222234 \dots$

Er zijn kennelijk twee soorten decimale breuken:

repeterende,
niet-repeterende.

De niet-repeterende decimale breuken kunnen onmogelijk bij getallen horen die te schrijven zijn als breuk.

Conclusie
Er zijn getallen die niet te schrijven zijn als breuk.

Er zijn twee soorten getallen:

die wel te schrijven zijn als breuk, de zogenaamde rationale getallen,
die niet te schrijven zijn als breuk, de zogenaamde irrationale getallen.

Welke van de volgende getallen zijn irrationaal?
$a$ = $1,12345678910111213 \dots$
$b$ = $1,123456789$
$c$ = $1,123456789123456789123456789 \dots$
$d$ = $1,1234321234321234321 \dots$
$e$ = $1,01020304050607080901001101201 \dots$

$0,10110111011110 \dots$ en $0,12112111211112 \dots$ zijn twee irrationale getallen.

Noem een rationaal getal dat tussen deze twee in ligt.

$0,111111 \dots$ en $0,555555 \dots$ zijn twee rationale getallen.

Noem een irrationaal getal dat tussen deze twee in ligt.

Vier getallen:
$a = 0,24$
$b = 0,24242424 \dots$
$c = 0,2422442224442222 \dots$
$d = 0,24244244424444 \dots$

Welke van deze vier getallen zijn rationaal en welke irrationaal?

Zet de vier getallen in volgorde van grootte, van klein naar groot.

Schrijf als één decimale breuk:
$a + b$
$b - a$
$\frac{1}{2} b$
$\frac{1}{3} b$
$1 - b$

Waarschijnlijk vind je irrationale getallen maar vreemde getallen. Dat komt omdat je ze nog niet zo goed kent. Twee beroemde irrationale getallen zul je in de volgende paragraaf leren kennen: di en pi. Dat di irrationaal is, zul je in klas 3 begrijpen.
Dat het beroemde getal pi irrationaal is, kunnen we niet op de middelbare school bewijzen. Dat is in 1761 bewezen door de Duitse wiskundige Johann Lambert.
Maar er zijn nog veel meer irrationale getallen. Bijvoorbeeld het getal $τ$ ; (tau).
Een diagonaal van een regelmatige vijfhoek is $τ$ keer zo lang als de zijde.
Dus: $d = τ \cdot z$ , met $τ \approx 1,618033987$ .