0.2 Coördinaten >

Hoofdstukken > Grafieken

In de grafiek hiernaast staat het verband tussen twee grootheden $x$ en $y$ .

Welk getal $y$ hoort bij $x = 4$ ? En welk getal hoort bij $x = 7$ ?

Welk getal $x$ hoort bij $y = 2$ ? En welk getal hoort bij $y = 6$ ?

De grafiek is een rechte lijn en loopt ook door buiten het getekende rooster.

Welk getal $y$ hoort er dan bij $x = 100$ ?

Welk getal $x$ hoort er dan bij $y = 100$ ?

Hoe kun je het getal $y$ berekenen als je het getal $x$ weet?
Geef een formule: $y = ...$ .

Opmerking:

In de opgave hierboven hebben de twee grootheden $x$ en $y$ geen betekenis. Ook hebben ze geen eenheid. Dat gebeurt in de wiskunde veel vaker. We noemen $x$ en $y$ in dat geval geen grootheden, maar variabelen.
Een variabele is een letter waarmee een of ander getalswaarde wordt bedoeld die niet vaststaat: het kan allerlei mogelijke waarden aannemen. Een andere naam voor variabele is ook wel veranderlijke, of onbekende.
Hoewel alle letters uit het alfabet gebruikt worden, worden toch erg vaak (meestal?) de letters $x$ en $y$ gebruikt.

Tussen twee getallen $p$ en $q$ is een verband dat wordt weergegeven door de formule $p + 2 q = 10$ .
Bijvoorbeeld: als $p = 2$ , dan geldt $q = 4$ .
Vul maar in: $2 + 2 \cdot 4 = 2 + 8 = 10$ .
En bij $p = 5$ hoort $q = 2 \frac{1}{2}$ . Vul zelf maar in.

Neem de tabel hieronder over en vul het verder in.

$p$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$q$			$4$			$2 \frac{1}{2}$

Teken de bijbehorende punten uit de tabel in een rooster en teken een lijn door de punten.
(Zet dus $p$ op de horizontale as en $q$ op de verticale as).

Wanneer je bij een tabel een grafiek tekent, heb je telkens twee getallen. Deze twee getallen geven de plaats aan waar je het punt in het rooster moet tekenen.
Deze twee getallen noemen we coördinaten.

De eerste coördinaat komt overeen met de bovenste rij van de tabel en geeft de plaats op de horizontale as aan.
De tweede coördinaat komt overeen met de onderste rij van de tabel en geeft de plaats op de verticale as aan.

De horizontale en verticale assen worden daarom ook de coördinaatassen genoemd.

Zoals al eerder opgemerkt, worden erg vaak de letters $x$ en $y$ gebruikt. De horizontale coördinaatas wordt dan de x-as genoemd en de verticale coördinaatas wordt dan de y-as genoemd.

Het snijpunt van de twee coördinaatassen is het punt met coördinaten $(0,0)$ en wordt de oorsprong genoemd en vaak aangegeven met de hoofdletter $O$ .

Een punt waarvan de coördinaten hele getallen zijn heet een roosterpunt.
Zie figuur hiernaast. Punten $A (2,3)$ en $B (4,0)$ zijn roosterpunten.
Punten $C$ en $D$ zijn geen roosterpunten.
De coördinaten zijn $C (1,1 \frac{1}{2})$ en $D (3 \frac{1}{2},4 \frac{1}{2})$ .
Je kunt dat ook schrijven als $C (1; 1,5)$ en $D (3,5; 4,5)$ .
Let op: er staat een puntkomma als scheidingsteken tussen de coördinaten als de coördinaten kommagetallen zijn.

Met behulp van coördinaten kun je plaatjes tekenen.
Met het (gratis) online computerprogramma GeoGebra kun je op die manier tekeningen maken. Daarvoor gebruik je dan de commando's Lijnstuk en Veelhoekslijn.
Bijvoorbeeld met het commando Lijnstuk[(3, 1), (4, 3)]
krijg je het rode lijnstukje zoals in de figuur hiernaast.
En met het commando Veelhoekslijn[(2, 1), (3, 4), (1, 2), (2, 1)]
krijg je het driehoekje.
(De Engelstalige commando's hiervoor zijn Segment en Polyline.)

Teken in je schrift een rooster met assenstelsel van 10 hokjes horizontaal en 13 hokjes verticaal. Je kunt ook het rooster op het werkblad gebruiken.

Teken in het rooster met de hand het plaatje dat je krijgt door de volgende 9 commando's van GeoGebra te combineren:

Veelhoekslijn[(3, 4), (1, 2), (0, 3), (4, 7), (2, 9), (2, 11), (4, 13), (6, 13), (8, 11), (8, 9), (6, 7), (10, 3), (9, 2), (7, 4)]
Veelhoekslijn[(3, 5), (3, 3), (4, 2), (6, 2), (7, 3), (7, 5)]
Veelhoekslijn[(2, 0), (4, 1), (4, 2)]
Veelhoekslijn[(8, 0), (6, 1), (6, 2)]
Veelhoekslijn[(3, 0), (4, 1), (4, 0)]
Veelhoekslijn[(6, 0), (6, 1), (7, 0)]
Veelhoekslijn[(3, 10), (3, 11), (4, 11), (4, 10), (3, 10)]
Veelhoekslijn[(6, 10), (6, 11), (7, 11), (7, 10), (6, 10)]
Veelhoekslijn[(5, 8), (6, 9), (4, 9), (5, 8)]

Controleer je tekening door de figuur ook met GeoGebra te tekenen.

Schrijf bij het plaatje hiernaast de bijbehorende GeoGebra-commando's op.
Controleer je commando's door ze in GeoGebra in te geven.

Teken in een rooster met potlood een leuk plaatje (maar niet te ingewikkeld) en schrijf de bijbehorende commando's op. Vraag een klasgenoot het plaatje te tekenen aan de hand van jouw commando's.
Controleer de tekening met behulp van GeoGebra.

In het assenstelsel hiernaast zijn twee lijnstukken getekend: lijnstuk $A B$ en lijnstuk $C D$ .

Je kunt de lijnstukken naar beide zijden verlengen.
De lijn door $A B$ snijdt dan de verticale as. Dat punt noemen we punt $P$ .
De lijn door $C D$ snijdt de horizontale as in punt $Q$ .

Schrijf de coördinaten op van punten $P$ en $Q$ .

Het midden van lijnstuk $A B$ is punt $M$ .

Schrijf de coördinaten op van punt $M$ .

Wat zijn de coördinaten van snijpunt $S$ van de lijnstukken?

Punt $E$ ligt op de lijn door $A$ en $B$ . De eerste coördinaat van $E$ is 20.

Schrijf de coördinaten op van punt $E$ .

(hint)

Schrijf van enkele punten van de lijn de coördinaten op, bijvoorbeeld in een tabel. Kun je een regelmaat ontdekken?

Punt $F$ ligt op de lijn door $C$ en $D$ . De tweede coördinaat van $F$ is 15.

Schrijf de coördinaten op van punt $F$ .

(hint)

Schrijf van enkele punten van de lijn de coördinaten op, bijvoorbeeld in een tabel. Kun je een regelmaat ontdekken?

Teken in een asssenstelsel de punten $A (1,2)$ , $B (6,1)$ , $C (7,4)$ en $D (2,5)$ . Teken vervolgens vierhoek $A B C D$ .

Vierhoek $A B C D$ is een speciale vierhoek. Wat is de naam van deze speciale vierhoek?

Teken de twee diagonalen van de vierhoek. Wat zijn de coördinaten van het snijpunt $S$ van deze twee diagonalen?

De punten met coördinaten $(x, y)$ op de lijn door $A$ en $B$ voldoen aan het verband met de formule $x + 5 y = 11$ .

Ga met een berekening na dat dit klopt voor de coördinaten van de punten $A$ en $B$ .

Als je de lijn door $A$ en $B$ doortrekt, snijdt deze lijn de $x$ -as en de $y$ -as.
Aflezen van deze coördinaten lukt nu niet zo goed, maar omdat deze twee snijpunten ook aan het verband $x + 5 y = 11$ voldoen, kun je ze ook uitrekenen met behulp van het volgende.

Voor het snijpunt met de $x$ -as geldt $y = 0$ ;
Voor het snijpunt met de $y$ -as geldt $x = 0$ .

Bereken hiermee de exacte coördinaten van de twee snijpunten van de lijn door $A$ en $B$ met de coördinaatassen.

(hint)

Vul in de formule

y = 0

, respectievelijk

x = 0

In de afbeelding hiernaast staat de wisselkoers van de Amerikaanse dollar ten opzichte van de euro van 30 december 2015. Bron: www.wisselkoers.nl/dollar-euro.

Laat met een berekening zien dat een bedrag van $ 100 gelijk is aan € 91,52.

Vul de tabel hieronder verder in. Rond af op hele eurocenten.

bedrag ($)	0	20	40	60	80	100
bedrag (€)	0					91,52

Teken een grafiek bij de tabel.

Het bedrag in euro's noemen we

E

en het bedrag in dollars

D

Geef een formule voor het verband tussen $E$ en $D$ .

Een punt met coördinaten $(d,1000)$ ligt op de grafiek.

Bereken $d$ (afgerond op 2 decimalen).

Een punt met coördinaten $(1000, e)$ ligt op de grafiek.

Bereken $e$ (afgerond op 2 decimalen).

In de tabel hieronder staat het aantal inwoners van Nederland in verschillende jaren. (Bron: CBS)

jaartal	1900	1914	1930	1945	1960	1985	2000	2010
inwoners (miljoen)	5,1	6,3	7,9	9,3	11,5	14,5	15,9	16,6

Teken een grafiek bij deze tabel. Kies verstandige stapgroottes op de coördinaatassen.

Schat het aantal inwoners van Nederland in 1940 en 1975.

Welk van de twee schattingen bij vraag b vind je het meest betrouwbaar? Leg uit waarom je dat vindt.

Schat met de grafiek het aantal inwoners van Nederland in 2015. Controleer je antwoord door op internet het juiste aantal op te zoeken.

Als je bij een tabel een grafiek hebt getekend, kun je met de grafiek een schatting geven van tussenliggende waarden die niet in de tabel staan.
Dit noemen we interpoleren (Latijn: inter betekent tussen).
Door een grafiek verder door te tekenen kun je ook een schatting geven van waarden buiten de gegeven reeks.
Dit noemen we extrapoleren (Latijn: extra betekent buiten).

Als een grafiek regelmatig verloopt kunnen de schattingen met behulp van interpolatie of extrapolatie nauwkeurig zijn, maar is dat niet het geval, dan is zo'n schatting onbetrouwbaar.

Een cilindervormige kaars brandt regelmatig op. Na 44 minuten branden is hij nog 27 cm lang; na 72 minuten is hij nog 20 cm lang.

Neem het rooster over en teken hierin de grafiek van de lengte van de kaars.

Lees uit jouw grafiek af na hoeveel minuten de kaars is opgebrand.
Lees ook af wat de oorspronkelijke lengte van de kaars was.

Aflezen uit de grafiek is in dit geval niet zo nauwkeurig. We kunnen het ook precies uitrekenen.

Met hoeveel cm (of mm) neemt de lengte van de kaars per minuut af?

Bereken na hoeveel minuten de kaars is opgebrand.

Bereken de oorspronkelijke lengte van de kaars.

Na een aanvaring zinkt een grote olietanker. Er dreigt een grote milieuramp want het schip verliest een enorme hoeveelheid olie. Het lukt niet om het gat in het schip te dichten, dus vormt de olie een steeds groter wordende (ronde) vlek. De grootte van de olievlek wordt door deskundigen in de gaten gehouden. De resultaten staan in de tabel.

tijd (dagen)	1	3	5	7
straal (km)	10,0	17,3	22,4	26,5

Neem het rooster hiernaast over en teken hierin de grafiek bij de tabel.

Schat met je grafiek de straal van de olievlek na 2, 4 en 6 dagen

Wat is de straal van de olievlek na 10 dagen?

De onderzoekers komen op het idee om naar de oppervlakte van de olievlek te kijken.

diameter past ruim 3 keer

Babylonisch kleitablet

Al meer dan 1000 jaar v.Chr. hadden de Babyloniërs ontdekt dat er een verband bestaat tussen de omtrek en de oppervlakte van een cirkel en de straal: de omtrek is ruim $3$ keer zo lang als de diameter. Dit getal wordt aangegeven met de Griekse letter $π$ (spreek uit 'pie').

Op een kleitablet is de waarde $3,125$ gevonden.
We weten inmiddels dat de waarde een oneindige kommagetal is: (ongeveer) $3,14159 ...$ .
Op je rekenmachine zit een apart knopje voor dit getal.

Voor de oppervlakte van een cirkel geldt:
$Oppervlakte = π \cdot r^{2}$ ; hierin is $r$ de straal.

Vul de open plekken in de tabel hieronder in. Rond de oppervlakte van de olievlek af op hele km².

tijd (dagen)	1	2	3	4	5	6	7
straal (km)	10,0		17,3		22,4		26,5
opp. (km²)

Er zit een regelmaat in de tabel als je naar de oppervlakte van de olievlek kijkt.

Gebruik deze regelmaat om eerst de oppervlakte en vervolgens de straal van de olievlek na 10 dagen te berekenen. Klopt je schatting in vraag c?

Hiernaast staan vier lege vazen met dezelfde hoogte en inhoud. De globale grafieken hieronder laten zien hoe de waterhoogte in de vaas stijgt wanneer ze onder een regelmatig lopende kraan worden gezet.
Van één vaas staat de juiste grafiek er niet bij. En één grafiek hoort bij geen van de getekende vazen.

Welke grafiek hoort bij welke vaas? Geef duidelijke uitleg.
En welke grafiek hoort bij geen enkele vaas?

Teken een globale grafiek bij de vaas waarvan geen grafiek getekend is.

Schets de vorm van de ontbrekende vaas waarvan wél de grafiek is getekend.

In het assenstelsel hiernaast zijn vier punten getekend.

Een rechte lijn gaat door de punten $A$ en $B$ .

Schrijf de coördinaten op van nog vijf roosterpunten op deze lijn.
Omschrijf het verband tussen de eerste en tweede coördinaat van punten op deze lijn.
Maak een formule voor de punten op deze lijn.

Een rechte lijn gaat door de punten $C$ en $D$ .

Schrijf de coördinaten op van nog vijf roosterpunten op deze lijn.

De lijn door $A$ en $B$ snijdt de lijn door $C$ en $D$ . Wat zijn de coördinaten van het snijpunt?

Onderzoek of het punt $E (50,94)$ ligt op de lijn door $C$ en $D$ .

Het punt $M$ ligt op het midden van lijnstuk $A B$ en punt $N$ ligt op het midden van lijnstuk $C D$ .

Schrijf de coördinaten op van punten $M$ en $N$ .

Je kunt twee vierkanten tekenen, zodat lijnstuk $C D$ een zijde van dit vierkant is.

Geef voor beide gevallen de coördinaten van de andere twee hoekpunten van het vierkant.

(hint)

Maak eerst een tekening.