Johan moet pakken papier van $25$ kg van de begane grond naar de zevende verdieping brengen.

De lift heeft een "maximum laadvermogen".

Wat betekent dat?

Als Johan $20$ pakken papier in de lift heeft gezet, komt Paul eraan, die wil ook naar boven. Samen met Johan stapt hij in de lift en het lampje VOL gaat branden. Dat betekent dat de lift het gewicht van de twee heren plus de $20$ pakken papier precies aankan.

Op het bord dat in de lift hangt is aangegeven hoeveel gewicht de lift maximaal aankan. De maker van het bordje gaat uit van een bepaald gemiddeld gewicht per persoon. Neem aan dat Johan en Paul van dat gemiddelde gewicht zijn.

Probeer met bovenstaande gegevens uit te zoeken van welk gemiddelde gewicht op het bordje is uitgegaan. Schrijf op hoe je je antwoord hebt gevonden. Lukt het niet, bekijk dan de volgende opgave.

De oplossing van het probleem in de vorige opgave kun je ook opschrijven met behulp van een variabele. Het gemiddelde gewicht van een persoon noemen we $x$ (in kg).
Het gewicht van Johan, Paul en de twintig pakken papier is samen $2 x + 500$ .

Druk nu zelf het maximale gewicht van de lift (zoals omschreven op het bordje) uit in $x$ .

Het getal $x$ dat je in de vorige opgave moest berekenen noemen we in de wiskunde ook wel een onbekende.

In de voorgaande opgaven heb je gezien dat Johan, Paul en de twintig pakken papier samen evenveel wegen als de zes personen en $200$ kg goederen.
Dit kan je met variabelen opschrijven als $6 x + 200 = 2 x + 500$ .

De vergelijking kun je oplossen met behulp van de balansmethode. Bekijk figuur 1.

Links op de balans staan Johan en Paul (elk met gewicht $x$ kg) samen met de $20$ pakken papier (totaalgewicht $500$ kg). Aan de rechterkant staan $6$ personen (elk met gewicht $x$ kg) en $200$ kg goederen. De balans is in evenwicht. De vergelijking erbij luidt: $2 x + 500 = 6 x + 200$ . Aan beide kanten van de balans halen we nu $200$ kg weg.

Dan blijft de balans uiteraard in evenwicht.

Welke vergelijking hoort bij figuur 2?

Vervolgens halen we aan beide kanten van de balans twee personen weg. Ook dan blijft de balans in evenwicht (omdat alle personen even zwaar zijn).

Welke vergelijking hoort bij figuur 3?

Welk getal stelt $x$ voor?

Wat weegt dus één persoon gemiddeld?

Veel vergelijkingen kun je oplossen met behulp van de balansmethode. Als voorbeeld nemen we de vergelijking $4 x + 1 = x + 10$ . Kijk goed hoe het werkt.

In twee stappen wordt de vergelijking teruggebracht tot een wel heel eenvoudige: $3 x = 9$ .
Door beide leden te delen door $3$ vind je: $x = 3$ .

Het is verstandig een oplossing die je gevonden hebt achteraf te controleren in de oorspronkelijke vergelijking. Als volgt:

Als $x = 3$ , dan is het linkerlid $4 \cdot 3 + 1 = 13$ .
Als $x = 3$ , dan is het rechterlid $3 + 10 = 13$ .
Inderdaad zijn de twee leden gelijk, als $x = 3$ . Je hebt dus het goede antwoord gevonden!

Om het onbekende gewicht op een balans te vinden, doe je steeds twee dingen:

je haalt van beide schalen hetzelfde gewicht af (of doet het erbij),
je neemt van beide schalen hetzelfde deel.

Zonder balans komt dat hier op neer:

je trekt van beide leden hetzelfde getal af (of telt het erbij op),
je deelt beide leden door hetzelfde getal (of vermenigvuldigt ze ermee).

Voorbeeld:

Een voorbeeld zonder balans

$5 a + 9$	$=$	$3 a + 17$	MIN $3 a$
$2 a + 9$	$=$	$17$	MIN $9$
$2 a$	$=$	$8$	DELEN DOOR $2$
$a$	$=$	$4$

Controleer het antwoord:

als $a = 4$ , dan is het linkerlid $5 \cdot 4 + 9 = 29$
als $a = 4$ , dan is het rechterlid $3 \cdot 4 + 17 = 29$

Los de volgende vergelijkingen op, net als in het voorbeeld. Controleer ook je antwoord.

$4 x + 10 = 20 + 2 x$

$3 y + 660 = 7 y + 36$

$7 t + 10 = 15 t + 9$

$b + 6 = 8 b + 1$

$2 p + 9 = 5 p$

$7 x + 15 = 5 x + 11$

Bij de laatste vergelijking kun je eigenlijk geen balans tekenen. Waarom niet?

Bij de laatste vergelijking $7 x + 15 = 5 x + 11$ kun je geen balans tekenen omdat je geen negatieve waarden kan uitbeelden. Toch kan je met de ‘balansmethode’ een dergelijke vergelijking oplossen.

Een ballon blijft net zweven als er een mandje met $8$ kg onder hangt. Twee van deze ballonnen blijven net zweven als hetzelfde mandje met $18$ kg er onder hangt. Zie ook de figuur hiernaast.

Bereken hoeveel kg het mandje weegt.

In een andere lift kunnen $12$ volwassenen óf $20$ kinderen. Er staan nu $9$ volwassenen in de lift.

Hoeveel kinderen kunnen er nog bij in de lift?

Bij een bezoek aan de dierentuin bewonderde ik de kamelen en de emoes.

Als ik in totaal $4$ koppen en $12$ poten zag, hoeveel kamelen en emoes heb ik dan gezien?