14.10 Rekentechniek

Gelijknamige breuken optellen en aftrekken

In de figuur hiernaast is een rechthoek verdeeld in $9$ gelijke stukken. In de rechthoek zijn $5$ van de $9$ stukken gekleurd.
We noemen dat het $\frac{5}{9}$ deel van de hele rechthoek.
We noemen $\frac{5}{9}$ een breuk. Het getal boven de breukstreep noemen we de teller van een breuk en het getal eronder de noemer van een breuk.
Twee breuken kun je optellen.

Hiernaast is de optelling $\frac{5}{9} + \frac{3}{9}$ in beeld gebracht:
$\frac{5}{9} + \frac{3}{9} = \frac{8}{9}$ .

Twee breuken met dezelfde noemer tel je dus op door de tellers op te tellen; de noemer blijft hetzelfde.

Twee breuken met dezelfde noemer van elkaar af trekken gaat op eenzelfde manier: $\frac{5}{9} - \frac{3}{9} = \frac{2}{9}$ .

Bereken.

$\frac{3}{7} + \frac{2}{7}$	$\frac{7}{15} + \frac{1}{15}$	$\frac{6}{13} + \frac{6}{13}$
$\frac{7}{11} - \frac{3}{11}$	$\frac{14}{15} - \frac{3}{15}$	$\frac{7}{8} - \frac{1}{8}$

Bij de laatste vraag van opgave 1 krijg je een antwoord dat je kunt vereenvoudigen. Daar gaan we nu even naar kijken.

Breuken vereenvoudigen

Hiernaast zie je twee keer dezelfde rechthoek getekend, de eerste verdeeld in $8$ gelijke stukken en eronder in $4$ . Beide keren is een even groot deel gekleurd.

In de bovenste rechthoek is $\frac{6}{8}$ deel gekleurd en in de onderste rechthoek is dat $\frac{3}{4}$ .

De breuk $\frac{6}{8}$ is vereenvoudigd tot $\frac{3}{4}$ .
Een breuk vereenvoudig je door de teller én noemer te delen door hetzelfde getal, in dit geval door $2$ .

Een paar voorbeelden:

$\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$\frac{20}{25} = \frac{4}{5}$

$\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

De breuk $\frac{33}{132}$ kun je vereenvoudigen door teller en noemer te delen door $3$ :
$\frac{33}{132} = \frac{11}{44}$ en $\frac{11}{44} = \frac{1}{4}$ , dus
$\frac{33}{132} = \frac{11}{44} = \frac{1}{4}$ .
Zo is de breuk zo ver mogelijk vereenvoudigd.

Vereenvoudig (zo ver mogelijk).

$\frac{12}{28}$	$\frac{8}{36}$	$\frac{22}{77}$
$\frac{6}{24}$	$\frac{15}{35}$	$\frac{15}{60}$
$\frac{16}{36}$	$\frac{18}{63}$	$\frac{63}{175}$
$\frac{28}{35}$	$\frac{32}{48}$	$\frac{60}{144}$

Breuken gelijknamig maken

Hierboven is uitgelegd hoe je twee gelijknamige breuken (breuken met dezelfde noemer) optelt. Als je twee ongelijknamige breuken optelt, maak je ze eerst gelijknamig. Hoe je dat doet laten we aan de hand van een paar voorbeelden zien.

Voorbeeld 1
$\frac{2}{9}$ en $\frac{1}{4}$ kun je schrijven als breuken met noemer $36$ .
Want $4 \cdot 9 = 36$ is zowel veelvoud van $9$ als van $4$ .
Je krijgt: $\frac{2}{9} = \frac{8}{36}$ en $\frac{1}{4} = \frac{9}{36}$ .

Voorbeeld 2
$\frac{5}{12}$ en $\frac{3}{8}$ kun je beide met noemer $12 \cdot 8 = 96$ schrijven, maar het kan ook met noemer $24$ : $\frac{5}{12} = \frac{10}{24}$ en $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$

Het rekent meestal handiger als je de gemeenschappelijke noemer zo klein mogelijk kiest.

Maak de volgende breuken gelijknamig.

$\frac{3}{5}$ en $\frac{5}{6}$	$\frac{5}{12}$ en $\frac{9}{16}$	$\frac{3}{7}$ en $\frac{3}{10}$
$\frac{7}{9}$ en $\frac{3}{4}$	$\frac{17}{20}$ en $\frac{11}{30}$	$\frac{2}{5}$ en $\frac{2}{15}$

Opmerking:

Bij het gelijknamig maken van twee breuken zoek je naar gemeenschappelijke veelvouden van de noemers.
Voorbeeld
Je wilt $\frac{5}{12}$ en $\frac{2}{15}$ optellen.
De veelvouden van $12$ zijn: $12$ , $24$ , $36$ , $48$ , $60$ , $72$ , $\dots$ .
De veelvouden van $15$ zijn: $15$ , $30$ , $45$ , $60$ , $75$ , $90$ , $\dots$ .
Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van $12$ en $15$ is dus $60$ .

Optellen en aftrekken van breuken

Als je breuken optelt of aftrekt, maak je ze eerst gelijknamig.

We geven nog een paar voorbeelden en daarna moet je zelf aan de slag.

$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$
$\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12} = 1 \frac{7}{12}$
$1 \frac{7}{12} + 2 \frac{1}{6} = 1 \frac{7}{12} + 2 \frac{2}{12} = 3 \frac{9}{12} = 3 \frac{3}{4}$
$5 \frac{9}{10} - 3 \frac{2}{5} = 5 \frac{9}{10} - 3 \frac{4}{10} = 2 \frac{5}{10} = 2 \frac{1}{2}$
$6 \frac{1}{3} - 4 \frac{3}{4} = 6 \frac{4}{12} - 4 \frac{9}{12}$ . Omdat $\frac{9}{12}$ groter dan $\frac{4}{12}$ schrijven we $6 \frac{4}{12}$ als $5 \frac{16}{12}$ .
Je krijgt: $6 \frac{1}{3} - 4 \frac{3}{4} = 6 \frac{4}{12} - 4 \frac{9}{12} =$ $5 \frac{16}{12} - 4 \frac{9}{12} = 1 \frac{7}{12}$ .

Bereken.

$\frac{5}{8} + \frac{5}{6}$	$5 \frac{3}{10} + 1 \frac{1}{4}$	$12 \frac{7}{15} - 3 \frac{1}{3}$
$4 \frac{5}{8} - \frac{2}{5}$	$\frac{7}{10} - \frac{1}{5}$	$\frac{5}{8} - \frac{1}{64}$
$3 \frac{2}{3} + 2 \frac{5}{12}$	$6 \frac{7}{16} + 4 \frac{7}{12}$	$9 \frac{7}{9} - 5 \frac{3}{5}$

Bereken.

$5 \frac{7}{10} + 1 \frac{3}{4} + 2 \frac{3}{20}$	$2 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3} + 2 \frac{5}{12}$	$3 \frac{1}{3} + 4 \frac{5}{12} + 5 \frac{1}{4}$
$5 \frac{3}{7} - 1 \frac{5}{7}$	$6 \frac{9}{10} + 2 \frac{3}{5} - 3 \frac{1}{4}$	$15 - 12 \frac{7}{8}$
$7 \frac{3}{8} - 2 \frac{1}{4} - 1 \frac{1}{2}$	$4 \frac{5}{12} - 3 \frac{5}{6}$	$5 \frac{3}{8} - 3 \frac{7}{12} + 2 \frac{1}{3}$

Vermenigvuldigen van breuken

Vermenigvuldigen van gehele getallen is het herhaaldelijk optellen, bijvoorbeeld $3 \cdot 4 = 4 + 4 + 4 = 12$ .
Zo is $3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$ .

Bereken.

$6 \cdot \frac{1}{3}$	$10 \cdot \frac{1}{10}$	$12 \cdot \frac{7}{12}$
$5 \cdot \frac{1}{5}$	$7 \cdot \frac{4}{7}$	$17 \cdot \frac{5}{17}$

Leg uit dat ‘het derde deel van $300$ ’ hetzelfde is als $\frac{1}{3} \cdot 300$ .

Hoe groot is het vierde deel van $32$ ? En het vijfde deel van $15$ ?

Hoe groot is het vierde deel van $7$ ? En het vijfde deel van $12$ ?

We gebruiken het resultaat van opgave 7 om uit te leggen hoe het vermenigvuldigen van breuken werkt.
Hieronder zie je twee rechthoeken. In de linker rechthoek is $\frac{2}{5}$ deel gekleurd.
In de rechter rechthoek is van dat gedeelte nog maar $\frac{1}{3}$ deel gekleurd.

Je ziet in de rechterfiguur dat van de hele rechthoek nog $\frac{2}{15}$ deel is gekleurd.
Klaarblijkelijk is het derde deel van $\frac{2}{5}$ gelijk aan $\frac{2}{15}$ . Of anders gezegd: $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$ .
Die uitkomst kun je gemakkelijk nagaan door de beide tellers te vermenigvuldigen en ook de beide noemers.

Je kunt dat gemakkelijk onthouden: $\frac{teller}{noemer} \cdot \frac{teller}{noemer} = \frac{teller \cdot teller}{noemer \cdot noemer}$ .

Enkele voorbeelden:

$\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{28}$

$\frac{3}{10} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{36}{210} = \frac{6}{35}$

$\frac{3}{4} \cdot 1 \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{8} = 1 \frac{1}{8}$

Bereken. (Vereenvoudig en breng ook de gehelen buiten de breuk.)

$\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{8}$	$\frac{9}{14} \cdot 5$	$1 \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{1}{2}$
$\frac{5}{7} \cdot 1 \frac{1}{3}$	$\frac{2}{9} \cdot 1 \frac{2}{5}$	$\frac{1}{8} \cdot 8 \frac{1}{2}$
$\frac{5}{7} \cdot 2 \frac{2}{5}$	$1000 \cdot \frac{9}{10}$	$\frac{2}{3} \cdot 1 \frac{2}{3}$
$2 \frac{1}{4} \cdot 1 \frac{1}{3}$	$3 \frac{2}{3} \cdot 3 \frac{1}{3}$	$2 \frac{1}{5} \cdot 2 \frac{1}{5}$

Bereken.

de helft van $\frac{3}{4}$	het tiende deel van $\frac{10}{13}$
de helft van $3 \frac{3}{4}$	het derde deel van $5 \frac{1}{4}$
het derde deel van $1 \frac{1}{2}$	het vijfde deel van $25 \frac{1}{2}$

Drie jongens, Allard, Bennie en Casper, en twee meisjes, Debbie en Elsbeth, verdelen samen een taart. De drie jongens krijgen samen even veel als de beide meisjes samen.

Welk deel krijgt Casper en welk deel krijgt Elsbeth?

Nog meer oefenen met rekenen met breuken kan je in de mini-loco app: Rekenen met breuken.