Op twee manieren

figuur 2

In figuur 1 zie je drie vierkanten, de okerkleurige hebben oppervlakte 100 en 36 cm². De blauwe heeft oppervlakte 64 cm².

figuur 1

De drie vierkanten worden op elkaar geplakt zoals in figuur 2.

Hoeveel cm² oker zie je nog in de geplakte figuur? Je kunt dit op twee manieren berekenen, met en zonder haakjes. Schrijf op hoe.

Twee blauwe vierkanten van 16 en 9 cm² worden op een oker vierkant van 100 cm² geplakt.
Hoe dat gedaan is, zie je in het plaatje.

Hoeveel cm² oker nog te zien is, kun je op twee manieren uitrekenen, met en zonder haakjes.
Schrijf de twee berekeningen op.

Gegeven zijn drie even brede stroken van lengte $A$ , $B$ en $C$ . Daaronder staat een strook van lengte $A + B + C$ .

Teken zo ook stroken van lengte:
$A + B - C$ ,
$A - B + C$ ,
$A - B - C$ ,
$A + (B + C)$ ,
$A + (B - C)$ ,
$A - (B + C)$ en
$A - (B - C)$

Welke van de bovenstaande stroken zijn gelijk?

In de voorgaande opgaven heb je gezien dat je in een uitdrukking als
$a - (b - c)$ of $a - (b + c)$
de haakjes niet zomaar weg kunt laten.
Er geldt namelijk $a - (b - c) = a - b + c$ en $a - (b + c) = a - b + c$ .

Herhaling uit hoofdstuk 9 van deel 1b

Bij het optellen en aftrekken van getallen gebruik je het volgende.

Een positief getal erbij tellen: ga op de getallenlijn naar rechts
Een negatief getal erbij tellen: ga op de getallenlijn naar links
Een positief getal eraf trekken: ga op de getallenlijn naar links
Een negatief getal eraf trekken: ga op de getallenlijn naar rechts

De getallenlijn hieronder met de getallen $0$ , $a$ en $b$ erop staat ook op het werkblad.

Teken nauwkeurig de getallen $a + b$ , $a - b$ , $‐ a + b$ , $a + ‐ b$ en $‐ a + ‐ b$ op de getallenlijn op het werkblad.

Bereken

$12 - (‐ 3 + 5)$ en $12 - ‐ 3 + 5$

$12 + (‐ 3 + 5)$ en $12 + ‐ 3 + 5$

$(‐ 10 + 2) - (3 - 15)$ en $‐ 10 + 2 - 3 - 15$

$(‐ 10 + 2) + (3 - 15)$ en $‐ 10 + 2 + 3 - 15$

$‐ 10 - (‐ 3 + 15 - 12)$ en $‐ 10 - ‐ 3 + 15 - 12$

$‐ 10 + (‐ 3 + 15 - 12)$ en $‐ 10 + ‐ 3 + 15 - 12$

Opmerking:

In de voorgaande opgave zie je in onderdeel b, d en f:
als je iets van de vorm $(\dots) + (\dots)$ of $\dots + (\dots)$ uit moet rekenen, kun je de haakjes weglaten.
In de voorgaande opgave zie je in onderdeel a, c en e:

als je iets van de vorm $(\dots) - (\dots)$ $\dots + (\dots)$ uit moet rekenen, kun je de haakjes niet zomaar weglaten.

Een belangrijk onderwerp in dit hoofdstuk is: uitdrukkingen zonder haakjes schrijven (haakjes wegwerken). Als je haakjes weg wil laten, kan dat door van een aftrekking eerst een optelling te maken.
Hierbij gebruiken we het volgende.

Twee getallen zijn tegengesteld als ze samen $0$ zijn (hun som $0$ is).
Het tegengestelde van $x$ noteren we met $‐ x$ .
Op de getallenlijn liggen tegengestelde getallen symmetrisch ten opzichte van $0$ .

Vul de tabel in.

$a$	$b$	$a - b - 2$	$‐ a + b + 2$
$2$	$‐ 2$
$‐ 7$	$10$
$‐ 11$	$‐ 12$
$‐ 5$	$7$
	$‐ 10$	$6$

Als je het goed gedaan hebt, zie je dat de getallen in de laatste twee kolommen tegengesteld zijn. Blijkbaar zijn $a - b - 2$ en $‐ a + b + 2$ tegengesteld, dus $‐ (a - b - ‐ 2) = ‐ a + b + 2$ .
Dat kun je in het volgend voorbeeld zien.

Voorbeeld:

$‐ (a - b - 2)$ zonder haakjes schrijven
$a - b - 2$ kun je schrijven als $a + ‐ b + ‐ 2$ .
Het tegengestelde hiervan is: $‐ a + b + 2$ , want $a + ‐ b + ‐ 2 + ‐ a + b + 2 = a + ‐ a + ‐ b + b + ‐ 2 + 2 = 0$ .
Kort opgeschreven: $‐ (a - b - 2) = ‐ a + b + 2$ .

$‐ a + b - 2 c$ kun je schrijven als $‐ a + b + ‐ 2 c$ .
Het tegengestelde hiervan is: $a + ‐ b + 2 c$ , want $‐ a + b + ‐ 2 c + a + ‐ b + 2 c = ‐ a + a + b + ‐ b + ‐ 2 c + 2 c = 0$ .
Kort opgeschreven: $‐ (‐ a + b - 2 c) = a - b + 2 c$ .

Schrijf zonder haakjes.
$‐ (2 + a - 2 b)$
$‐ (2 a + b - 2 c)$
$‐ (‐ a + ‐ b - c)$

In opgave heb je een voorbeeld van de regel $a - (b - c) = a - b + c$ gezien.

Controleer of die regel ook geldt voor $a = ‐ 3$ , $b = ‐ 7$ , $c = 10$ en voor $a = ‐ 3$ , $b = 8$ , $c = ‐ 11$ .

In opgave 14 heb je een voorbeeld van de regel $a - (b + c) = a - b - c$ gezien.

Controleer of die regel ook geldt voor $a = ‐ 3$ , $b = ‐ 7$ , $c = 10$ en voor $a = ‐ 3$ , $b = 8$ , $c = ‐ 11$ .

Opmerking:

Dat $a - (b - c) = a - b + c$ , kun je ook als volgt inzien:

$a - (b - c)$	$=$	$a + ‐ (b - c)$	want: aftrekken is het tegengestelde erbij tellen
$a + ‐ (b - c)$	$=$	$a + (‐ b + c)$	want: het tegengestelde van $b - c$ is $‐ b + c$
$a + (‐ b + c)$	$=$	$a + ‐ b + c$	want: bij een optelling mag je de haakjes weglaten

Dus: $a - (b - c) = a - b + c$

En: $a - (b + c) = a + ‐ (b + c) = a + ‐ b + ‐ c = a - b - c$ .

Neem de tabel over en vul hem verder in.

$x$	$a$	$b$	$c$	$x - (a - b - c)$	$x - a + b + c$
1	2	3	4
-1	5	-3	-4
5		1	2	7
-1	1	-2			-6

Opmerking:

In de voorgaande opgave zijn de laatste twee kolommen gelijk. Dat kun je als volgt inzien.
$x - (a - b - c) = x + ‐ (a - b - c) = x + (‐ a + b + c) =$ $x + ‐ a + b + c = x - a + b + c$

Winst en verlies

Ali en Ben spelen niets liever dan spelletjes tegen elkaar. Ali houdt het verloop van de spelletjes bij. In de eerste regel staat het verloop van het volgende spel: Ali verliest eerst 2 (eurocent), vervolgens wint hij 3, verliest daarna 5 en wint daarna 2. Dan wint Ben eerst 2, verliest dan 3, wint 5 en verliest ten slotte 2.
In de tweede regel staat het verloop van het tweede spel.

Wat moet er in de tweede regel bij Ben staan?

En in de derde regel?

Wat krijg je als de twee getallen van Ali en Ben in een regel optelt?

Neem de tabel over en vul hem verder in.

De getallen $a$ en $b$ hoeven niet postief te zijn. Vul maar eens voor $a = ‐ 3$ en voor $b = ‐ 7$ in.

Reken uit wat er in de tweede regel bij Ali en Ben uitkomt. En ook in de derde regel.

Joris en Corien zijn aan het knikkeren. Samen hebben ze 54 knikkers. Als ze beginnen heeft Joris er $x$ .

Hoeveel heeft Corien er dan? (Uitdrukken in $x$ .)

Joris heeft pech: hij verliest $y$ knikkers aan Corien.

Hoeveel knikkers heeft Joris nu?

Druk het aantal knikkers dat Corien nu heeft op twee manieren uit in $x$ en $y$ : met haakjes en zonder haakjes.

Welke gelijkheid heb je gevonden voor de getallen $x$ en $y$ ?

Op de getallenlijn

figuur 1

Op de getallenlijn in figuur 1 zijn 0, 2 en $x$ aangegeven.

Neem de getallenlijn over en teken zo nauwkeurig mogelijk:
$x + 2$ , $‐ (x + 2)$ , $‐ x + 2$ , $‐ (‐ x + 2)$ .
Geef aan hoe je dat gedaan hebt.

figuur 2

Op de getallenlijn in figuur 2 zijn 0, 2 en $y$ aangegeven.

Neem de getallenlijn over en teken zo nauwkeurig mogelijk:
$y + 2$ , $‐ (y + 2)$ , $‐ y + 2$ , $‐ (‐ y + 2)$ .
Hoe doe je dat?

Geef op de getallenlijn op het werkblad aan:
$‐ x$ , $‐ y$ , $x + y$ , $x + ‐ y$ , $x - y$ , $‐ (x + y)$ , $‐ x + ‐ y$ .
Geef aan hoe je dat gedaan hebt, gebruik eventueel meer dan één getallenlijn.

Haakjes wegwerken

Voorbeeld:

Kijk in het volgende heel precies welke stappen gemaakt worden.

$(a - b + 2 c)$	$+$	$(2 a - 3 b - 2 c) =$	haakjes weglaten, het is een optelling
$a - b + 2 c$	$+$	$2 a - 3 b - 2 c =$	vereenvoudigen
$3 a - 4 b$

$‐ (a - b + 2 c)$	$+$	$(2 a - 3 b - 2 c) =$	tegengestelde nemen
$‐ a + b - 2 c$	$+$	$(2 a - 3 b - 2 c) =$	haakjes weglaten, het is een optelling
$‐ a + b - 2 c$	$+$	$2 a - 3 b - 2 c =$	vereenvoudigen
$a - 2 b - 4 c$

$(a - b + 2 c)$	$-$	$(2 a - 3 b - 2 c) =$	aftrekken = het tegengestelde erbij optellen
$(a - b + 2 c)$	$+$	$‐ (2 a - 3 b - 2 c) =$	tegengestelde nemen
$(a - b + 2 c)$	$+$	$(‐ 2 a + 3 b + 2 c) =$	haakjes weglaten, het is een optelling
$a - b + 2 c$	$+$	$‐ 2 a + 3 b + 2 c =$	vereenvoudigen
$‐ a + 2 b + 4 c$

$\dots - (\dots)$ schrijf je zó zonder haakjes.

Maak er een optelling van volgens de regel: aftrekken = het tegengestelde erbij optellen.
Nu kun je de haakjes weglaten.

Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.
$‐ (‐ a - 2 b - 2 c) + (2 a - 3 b - 2 c)$
$‐ (‐ a - 2 b - 2 c) - (2 a - 3 b - 2 c)$
$(‐ a + 2 b - 2 c) - (‐ 2 a - 3 b + 2 c)$

Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

$3 a + (a + 2)$	$20 - (x + 1)$
$‐ 3 a - (a - 2)$	$2 x - (x - 1)$
$3 a + (‐ a + 2)$	$2 x - (3 x - 5)$
$‐ 3 a + (‐ a - 2)$	$3 x - (3 x - 5)$

In de volgende miniloco kun je oefenen.

Voorbeeld:

$2 x - 2 (x + 5) = 2 x + ‐ 2 (x + 5) = 2 x + ‐ 2 x + ‐ 10 = ‐ 10$
of korter:
$2 x - 2 (x + 5) = 2 x - 2 x - 10 = ‐ 10$

Schrijf zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

$3 (x + 5)$	$3 (x + 5) + 5 (x - 3)$
$5 (x + 5) - 3 (x + 2)$	$5 (x + 5) - 3 (x - 5)$

Schrijf zonder haakjes.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x - \frac{3}{4})$	$‐ \frac{1}{2} (\frac{2}{3} x - \frac{3}{4})$
$‐ \frac{1}{2} (‐ \frac{2}{3} x - \frac{3}{4})$	$‐ \frac{1}{2} (‐ \frac{2}{3} x + \frac{3}{4})$

Vul de tabel in.

$x$	$x^{2}$	$‐ x^{2}$	${(‐ x)}^{2}$	$‐ 2 x^{2}$	${(‐ 2 x)}^{2}$	$4 x^{2}$
$1$
$‐ 3$
$5$
$‐ 10$

Opmerking:

Je ziet in de voorgaande opgave dat de laatste twee kolommen gelijk zijn. Dat komt omdat ${(‐ 2 x)}^{2} = ‐ 2 x \cdot ‐ 2 x = ‐ 2 \cdot x \cdot ‐ 2 \cdot x = ‐ 2 \cdot ‐ 2 \cdot x \cdot x = 4 x^{2}$ .
Zo zijn ook ${(‐ x)}^{2}$ en $x^{2}$ gelijk.

Schrijf zonder haakjes.

${(5 x)}^{2} =$	$3 {(5 x)}^{2} =$
${(3 \cdot 5 x)}^{2} =$	$5 {(‐ 2 x)}^{2} =$
$5 {(‐ x)}^{2} =$	$‐ 5 \cdot ‐ x^{2} =$

De rechthoek van $a$ bij $b$ in de figuur is voor een deel blauw en voor de rest rood gekleurd.
De andere maten staan ook in de figuur.
Het rode deel bestaat uit twee rechthoeken.

Druk de oppervlakte van elk van de rode rechthoeken in $a$ , $b$ , $c$ en $d$ uit.

Druk met behulp van je antwoorden uit a de oppervlakte van het rode gebied in $a$ , $b$ , $c$ en $d$ uit. Schrijf je antwoord zonder haakjes zo eenvoudig mogelijk.

Druk de oppervlakte van het blauwe deel in $c$ en $d$ uit. Schrijf je antwoord zonder haakjes zo eenvoudig mogelijk.

De oppervlakte van het rode deel kun je ook vinden door de oppervlakte van het blauwe deel van de oppervlakte van de hele rechthoek af te trekken.

Doe dat en schrijf je antwoord zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

In de volgende miniloco kun je oefenen.