Een vergelijking oplossen
1

Hieronder staan zeven vragen. Bij elke vraag moet je twee dingen doen:

  • vertaal de vraag in wiskundetaal; gebruik daarbij de letter x ,

  • beantwoord de vraag.

De eerste vraag is als voorbeeld al gedaan.

a

Van welke getallen is het kwadraat 25?

  • x 2 = 25

  • x = 5 en x = 5

b

Van twee opeenvolgende getallen is de som 51.
Wat is het kleinste van die twee getallen?

c

Van twee opeenvolgende gehele getallen is het product 56.
Wat is het kleinste van die twee getallen? (Er zijn twee mogelijkheden.)

d

Een kubus heeft een inhoud van 8 cm3.
Hoe lang zijn de ribben?

e

Van welk getal is het kwadraat 64 ?

f

Van welk getal is de derde macht 64 ?

g

Van welk getal is het drievoud gelijk aan het getal vermeerderd met 5?

Bij vragen zoals in de vorige opgave horen vergelijkingen.

Het antwoord op zo'n vraag bestaat uit alle getallen die aan de vergelijking voldoen.

Los de vergelijking op betekent: zoek alle getallen die aan de vergelijking voldoen. We noemen deze getallen oplossingen.

Een oplossing kun je controleren door deze in te vullen in de vergelijking.

Voorbeeld:

Het getal 2 is geen oplossing van de vergelijking x ( x + 2 ) = 4 x , want als je 2 voor x invult, geven x ( x + 2 ) en 4 x verschillende uitkomsten (namelijk 2 ( 2 + 2 ) = 0 en 4 2 = 8 ).
Wel voldoen de getallen 0 en 2. Controleer maar!

2
a

Ga voor elk van de getallen ‐1 , 0 , 1 en 2 na of het aan de vergelijking x 2 + x = x + 1 voldoet.

b

Ga voor elk van de getallen 4 , 1 , 1 en 4 na of het aan de vergelijking ( x 1 ) ( x + 4 ) = 0 voldoet.

c

Ga voor elk van de getallen ‐4 , ‐1 , 1 en 4 na of het aan de vergelijking x 2 3 x 4 = 0 voldoet.

We bekijken een aantal vergelijkingen. Van sommige vergelijkingen kun je meteen zien welke getallen voldoen, andere vergelijkingen zijn lastiger. Maar door voor x wat getallen in te vullen kun je die waarschijnlijk ook wel oplossen. Geef het in elk geval niet te gauw op. Niet elke vergelijking heeft precies één oplossing: er kunnen ook meerdere oplossingen zijn, of juist geen enkele. Je bent pas klaar als je alle oplossingen hebt gevonden.

3

Los op.

x + 2 = 2 x

2 x = x

x + 2 = x

2 ( x + 2 ) = 2 x

x 2 = 9

x 2 = 9

x 5 = 32

x 5 = 32

( x + 1 ) 2 = 16

( x 1 ) 3 = 8

4

De bekende tuinarchitect Bob Roelofs heeft een parktuin ontworpen. De parktuin is door paden verdeeld in negen vierkante stukken, elk van x bij x  meter.

a

Druk de oppervlakte van de negen vierkante stukken uit in x . Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Stel dat de vierkante stukken elk 4 bij 4 meter zijn.
Gerd beweert dat de oppervlakte van de negen vierkante stukken dan gelijk is aan 9 4 2 = 36 2 = 1296  m2.
Janneke beweert dat de oppervlakte van de negen vierkante stukken dan gelijk is aan 9 4 2 = 9 16 = 144  m2.

b

Wie van de twee heeft gelijk? Waarom?

In hoofdstuk 11 - Machten heb je geleerd dat machtsverheffen vóór vermenigvuldigen gaat. Dus: 9 4 2 = 9 16 .

Machtsverheffen gaat vóór vermenigvuldigen.
Dus: 9 x 2 = 9 x x

c

Stel dat je per se wilt dat in 9 4 2 eerst 9 4 wordt uitgerekend, en dan pas het kwadraat, hoe moet je dat dan opschrijven?

d

Ga na of 4 voldoet aan de vergelijking 3 x 2 6 x = 24 .

e

Bereken:

1 2 6 2

3 2 ( 1 2 ) 4

4 ( 1 2 ) 2

2 3 3 4 2

5

Net zo iets is er aan de hand met x 2 .
Gerd denkt dat 3 2 = 3 3 = 9 .
Janneke denkt dat 3 2 = ( 3 3 ) = 9 .

a

Wie heeft gelijk?

Machtsverheffen gaat vóór het tegengestelde nemen.

Dus: x 2 = ( x x )

b

Hoe schrijf je kort op: het kwadraat van 4 ? Bereken het kwadraat van 4 .
Hoe schrijf je kort op: het kwadraat van 4 x ? Dat is gelijk aan x 2 (vul in).

c

Bereken:

x 2 + 4 x

als x = 2

2 x 2 3 x

als x = 1

x 3 x 2 x

als x = 1

d

Schrijf zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk:

2 5 x

( 2 ) 2 5 x 2

2 x 5 x

( 2 x ) 2 5

2 x 5 x 2

2 x ( 5 x ) 2

Vergelijkingen oplossen

De vergelijking x 2 = 36 heeft twee oplossingen, namelijk 6 en 6 . Vul maar in!
De twee oplossingen van de vergelijking ( 2 x ) 2 = 36 ken je nu ook, namelijk 3 en 3 (omdat 2 x = 6    of    2 x = 6 ). Vul maar in!


Wat hierboven staat kun je ook korter opschrijven. Hoe dat gaat zie je hieronder.
( 2 x ) 2 = 36
2 x = 6    of    2 x = 6
x = 3    of    x = 3

6

Geef van elke vergelijking de twee oplossingen. Kijk goed naar het voorbeeld van hierboven.

( 4 x ) 2 = 36

x 2 = 100

( 1 2 x ) 2 = 36

( 2 x ) 2 = 100

( x + 1 ) 2 = 36

( x + 3 ) 2 = 100

( x 5 ) 2 = 36

( 11 x ) 2 = 100

7
9

Los op, dat wil zeggen geef alle getallen x die aan de vergelijking voldoen.

( 2 x + 1 ) 2 = 36

x 2 = 25

( 2 x + 1 ) 2 = 0

9 + x 2 = 25

( 2 x + 1 ) 2 = 36

( x + 9 ) 2 = 25

( 2 x + 1 ) 2 = 1

4 x 2 = 1

8

Los op.

x 3 = 8

( 1 2 x ) 3 = ‐64

( x + 1 ) 3 = 8

( 3 x ) 3 = ‐64

( x 4 ) 3 = 8

( 2 x + 2 ) 3 = ‐64

7s
9s

Los op, dat wil zeggen geef alle getallen x die aan de vergelijking voldoen.

x 3 = 27

( 7 x ) 4 = 16

x 4 = 16

( x + 1 ) 3 = 27

( 7 x ) 4 = 16

x 4 = 16

x 3 = 27

7 x 4 = 16

( x ) 4 = 16

( x + 1 ) 3 = 27

Het product is 0
10
11
a

Het product van twee getallen is 0. Ga na dat je met zekerheid een van die twee getallen kent.

b

Het product van twee getallen is 60. Ga na dat je nu niet met zekerheid een van die twee getallen kent.

c

Bereken uit het hoofd: 317 15 0 25 en 7 5 16 0 .

d

Ga na dat x = 3 voldoet aan de vergelijking:
( x 3 ) ( x + 1 ) = 0 .

e

Er is nog een getal dat aan deze vergelijking voldoet. Welk getal is dat?

f

Welke drie getallen voldoen aan de vergelijking:
( x 1 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) = 0 ?
Ga ook na dat er geen andere getallen zijn die voldoen.

10s
11s
a

Het product van twee getallen is 0. Ga na dat je met zekerheid een van die twee getallen kent.

b

Het product van twee getallen is 60. Ga na dat je nu niet met zekerheid een van die twee getallen kent.

c

Bepaal de oplossingen van de vergelijking ( x a ) ( x b ) = 0 .

12

Los de volgende vergelijkingen op:
( x + 3 ) ( x + 5 ) = 0
( x 3 ) ( 2 x 3 ) = 0
x ( x 4 ) = 0

In woorden
Als het product van twee getallen nul is, dan is het ene getal nul of is het andere getal nul.

In algebrataal
Als a b = 0 , dan a = 0    of    b = 0 .

Een dergelijke uitspraak geldt ook voor het product van drie of meer factoren dat nul is.

13

Los op:
x ( x + 3 ) ( x 4 ) ( x + 5 ) = 0
3 x ( x 1 ) ( 3 x + 12 ) = 0
x ( 2 x + 4 ) ( 3 x 1 ) ( 4 x + 16 ) = 0

14
a

Geef een vergelijking waarvan 1, 3, 5, 7 en 9 de (enige) oplossingen zijn.

b

Geef een vergelijking waarvan 0 , 1 , ‐1 en 111 de (enige) oplossingen zijn.

Voorbeeld:

We gaan de vergelijking ( x 2 4 ) ( x 2 + 9 ) = 0 oplossen. Er zijn twee mogelijkheden:

  • de eerste factor is 0 als x 2 = 4 , dus x = 2    of    x = 2 ,

  • de tweede factor is 0 als x 2 = 9 , maar dat kan niet.

De vergelijking heeft dus twee oplossingen: 2 en 2 .

Voorbeeld:

We gaan de vergelijking x ( x 2 9 ) = 0 oplossen. Er zijn twee mogelijkheden:

  • de eerste factor is 0 als x = 0 ,

  • de tweede factor is 0 als x 2 = 9 , dus x = 3    of    x = 3 .

De vergelijking heeft drie oplossingen: 0 , 3 en 3 .

15

Los op:

x ( x 2 1 ) ( x 2 9 ) = 0

x 2 ( x 16 ) = 0

7 x ( x 3 8 ) ( x 11 ) 2 = 0

x ( x 2 16 ) = 0

( x 9 ) 2 ( x 2 9 ) = 0

( x 2 + 1 ) ( x 2 16 ) = 0

Je hebt de volgende stelling geleerd.

Als een product 0 is,
dan is minstens één van de factoren 0.

Een dergelijke stelling hebben we niet voor een product dat 60 is, of voor nog een andere uitkomst. 0 is voor producten dus een heel bijzondere uitkomst. Dit feit gebruiken we in de volgende paragrafen om vergelijkingen systematisch op te lossen. Daarvoor schrijven we een vergelijking als een product van de vorm: a b = 0 . In de volgende paragraaf oefenen we daarom eerst het schrijven van een uitdrukking als product; we noemen dit ontbinden in factoren.