Herhaling

Distributiewetten

Voor alle getallen a , b en c geldt:

  • a ( b + c ) = a b + a c

  • a ( b c ) = a b a c


Product van tweetermen
Voor alle getallen a , b , c en d geldt:

  • ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d


Merkwaardige producten
Voor alle getallen a en b geldt:

  • ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

  • ( a b ) 2 = a 2 2 a b + b 2

  • ( a + b ) ( a b ) = a 2 b 2

De Merkwaardige producten zijn speciale gevallen van Producten van tweetermen.

Oefenen
Voorbeeld:

Je kunt de regel "Product van tweetermen" gebruiken om bijvoorbeeld 27 48 uit te rekenen, zie het plaatje hiernaast.
27 48 = ( 20 + 7 ) ( 40 + 8 ) = 20 40 + 20 8 + 7 40 + 7 8 = 1296 .

1

Bereken als in het voorbeeld: 28 37 .

Voorbeeld:

Hieronder staan drie voorbeelden waarin een uitdrukking zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk geschreven wordt. Bij de eerste twee is ook een plaatje gemaakt.

  1. 2 x ( x 7 ) = 2 x x 2 x 7 = 2 x 2 14 x
    (met de Distributiewet)

  2. ( x + 3 ) ( 7 2 x ) = x 7 x 2 x + 3 7 3 2 x = 2 x 2 + x + 21 (met het Product van tweetermen)

  3. ( 2 x + 3 ) ( 2 x 3 ) = ( 2 x ) 2 9 = 4 x 2 9
    (met Merkwaardige producten)

2

Schrijf zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk:

x ( x + 4 )

x ( 4 2 x )

( x + 4 ) ( x + 5 )

( x + 4 ) ( x 5 )

( x 4 ) ( x 5 )

( 2 x + 4 ) ( x 5 )

( x + 4 ) 2

( 2 x 4 ) 2

Wil je meer oefenen met haakjes wegwerken, maak de volgende miniloco of deze.

In opgave 34 heb je de haakjes weggewerkt in ( x + 4 ) ( x 5 ) .
Je hebt hiervoor geschreven: x 2 x 20 .
In het vervolg moet je de weg terug bewandelen, dus x 2 x 20 schrijven als ( x + 4 ) ( x 5 ) , we zeggen x 2 x 20 ontbinden in factoren.
We bekijken eerst wat voorbeelden.

Voorbeeld:
  1. x 2 10 x + 21 ontbinden gaat zo:
    x 2 10 x + 21 = ( x + ) ( x + ) .
    De twee getallen die op de stippellijnen moeten staan, hebben product 21 .
    De twee blauwe rechthoeken moeten samen oppervlakte 10 x hebben, dus de gezochte twee getallen zijn 3 en 7 .
    Dus x 2 10 x + 21 = ( x + 3 ) ( x + 7 ) = ( x 3 ) ( x 7 ) .

  2. x 2 4 x 21 ontbinden gaat zo:

    x 2 4 x 21 = ( x + ) ( x + ) .
    De twee getallen die op de stippellijnen moeten staan, hebben product 21 .
    De twee blauwe rechthoeken moeten samen oppervlakte 4 x hebben, dus de gezochte twee getallen zijn 7 en 3 .
    Dus x 2 4 x + 21 = ( x + 3 ) ( x + 7 ) = ( x + 3 ) ( x 7 ) .

  3. x 2 2 x 24 ontbinden gaat zo:

    x 2 2 x 24 = ( x + ) ( x + ) .
    De twee getallen die op de stippellijnen moeten staan, hebben product 24 .
    De twee blauwe rechthoeken moeten samen oppervlakte 2 x hebben. We maken een tabel van getallen met product 24 .

    1

    2

    3

    4

    6

    12

    24

    24

    12

    6

    4

    3

    2

    1

    De gezochte twee getallen zijn dus: 6 en 4 .
    Dus x 2 2 x 24 = ( x + 4 ) ( x + 6 ) = ( x + 4 ) ( x 6 ) .

  4. x 2 7 x ontbinden gaat zo:
    Je haalt x buiten haakjes in x 2 7 x :
    x 2 7 x = x ( x 7 ) .

  5. x 2 400 ontbinden gaat zo:
    x 2 400 = ( x + 20 ) ( x 20 )
    Je herkent een vorm als (rechterlid van een) merkwaardig product.

De methode in de eerste drie voorbeelden noemen we de som-product methode.

3
4

Ontbind de volgende uitdrukkingen in factoren. Als je het zonder tabel of plaatje kunt: prima!

x 2 + 7 x

x 2 + 5 x + 6

x 2 4 x 5

x 2 + 6 x 7

x 2 7 x + 10

x 3 7 x 2

x 2 6 x + 9

x 2 100

3s
4s

Bekijk de drieterm x 2 + k x 16 . Voor sommige gehele getallen k is de drieterm te ontbinden, voor andere niet.
Als k = 6 , dan krijg je x 2 + 6 x 16 = ( x 2 ) ( x + 8 ) .
Als k = 7 , dan krijg je de drieterm x 2 + 7 x 16 ; deze kan niet ontbonden worden.

a

Onderzoek welke gehele getallen je voor k kunt kiezen zodat de drieterm x 2 + k x 16 in twee factoren ontbonden kan worden.

b

Onderzoek welke gehele getallen je voor k kunt kiezen, met 20 k 20 , zodat x 2 16 x + k in twee factoren ontbonden kan worden.

Kwadratische vormen ontbinden in factoren
Een van de volgende manieren kun je gebruiken.

  1. De factor x buiten haakjes halen:
    x 2 100 x = x ( x 100 )

  2. Het merkwaardig product gebruiken:
    x 2 100 = ( x + 10 ) ( x 10 )
    x 2 20 x + 100 = ( x + 10 ) 2

  3. De som-product methode gebruiken:
    x 2 20 x 125 = ( x + 5 ) ( x 25 )
    Zoek twee getallen waarvan het product 125 is en de som 20 .
    Maak hiervoor eventueel een tabel.

Wil je meer oefenen met ontbinden in factoren, maak de volgende miniloco.