19.5 Oplossen en opstellen van vergelijkingen >

Oplossen van eenvoudige vergelijkingen

$x^{2} - 5 x - 24 = 0$	ontbinden in factoren
$(x - 8) (x + 3) = 0$
$x = 8$ of $x = ‐ 3$

$x^{2} + 10 x = 0$	ontbinden in factoren
$x (x + 10) = 0$
$x = 0$ of $x = ‐ 10$

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$	ontbinden in factoren
$(x - 4) (x - 2) = 0$
$x = 4$ of $x = 2$

$x^{2} - 5 x = 0$	ontbinden in factoren
$x (x - 5) = 0$
$x = 0$ of $x = 5$

$x^{2} + 3 x = 0$	ontbinden in factoren
$x (x + 3) = 0$
$x = 0$ of $x = ‐ 3$

Gerd had of het getal 0 of het getal $‐ 3$ in gedachten.

$y^{2} + 7 y - 18 = 0$	ontbinden in factoren
$(y - 2) (y + 9) = 0$
$y = 2$ of $y = ‐ 9$

Janneke had of het getal 2 of het getal in $‐ 9$ gedachten.

Vergelijkingen waarbij je eerst moet herleiden op 0

$x^{2} + 6 x = 16$	MIN 16
$x^{2} + 6 x - 16 = 0$	ONTBINDEN
$(x + 8) (x - 2) = 0$
$x = ‐ 8$ of $x = 2$

$x^{2} - 5 x = 6$	MIN 6
$x^{2} - 5 x - 6 = 0$	ONTBINDEN
$(x - 6) (x + 1) = 0$
$x = 6$ of $x = ‐ 1$

$x^{2} = 8 x$	MIN $8 x$
$x^{2} - 8 x = 0$	ONTBINDEN
$x (x - 8) = 0$
$x = 0$ of $x = 8$

$x^{2} + 16 = 8 x$	MIN $8 x$
$x^{2} - 8 x + 16 = 0$	ONTBINDEN
${(x - 4)}^{2} = 0$
$x = 4$

$x^{2} + 2 x = 24$

$x^{2} + 2 x = 24$	MIN 24
$x^{2} + 2 x - 24 = 0$	ONTBINDEN
$(x + 6) (x - 4) = 0$
$x = ‐ 6$ of $x = 4$

$x (x + 4) + 4 \cdot 4 = 181$
$x^{2} + 4 x + 16 = 181$
$x^{2} + 4 x - 165 = 0$
$(x + 15) (x - 11) = 0$
$x = ‐ 15$ of $x = 11$
Alleen het antwoord $x = 11$ voldoet, omdat het om een lengte gaat.

$x^{2} = 2 x - 1$	MIN $2 x$ , PLUS 1
$x^{2} - 2 x + 1 = 0$	ONTBINDEN
$(x - 1) (x - 1) = 0$
$x = 1$

$12 - 4 x = x^{2}$	PLUS $4 x$ , MIN 12
$x^{2} + 4 x - 12 = 0$	ONTBINDEN
$(x + 6) (x - 2) = 0$
$x = ‐ 6$ of $x = 2$

$x^{2} = 12 - 11 x$	PLUS $11 x$ , MIN 12
$x^{2} + 11 x - 12 = 0$	ONTBINDEN
$(x + 12) (x - 1) = 0$
$x = ‐ 12$ of $x = 1$

$5 x + 14 = x^{2}$	MIN $5 x$ , MIN 14
$x^{2} - 5 x - 14 = 0$	ONTBINDEN
$(x + 2) (x - 7) = 0$
$x = ‐ 2$ of $x = 7$

Vergelijkingen met haakjes

$x^{2} + 5 = 3 (x + 1)$	HAAKJES WEG
$x^{2} + 5 = 3 x + 3$	MIN $3 x$ , MIN 3
$x^{2} - 3 x + 2 = 0$	ONTBINDEN
$(x - 2) (x - 1) = 0$
$x = 2$ of $x = 1$

$2 (x^{2} - 2) = 4 (x^{2} - 3)$	HAAKJES WEG
$2 x^{2} - 4 = 4 x^{2} - 12$	MIN $2 x^{2}$ , PLUS 4
$2 x^{2} - 8 = 0$	DELEN DOOR 2
$x^{2} - 4 = 0$	ONTBINDEN
$(x - 2) (x + 2) = 0$
$x = 2$ of $x = ‐ 2$

$3 {(x + 1)}^{2} = x^{2} + 3$	HAAKJES WEG
$3 x^{2} + 6 x + 3 = x^{2} + 3$	MIN $x^{2}$ , MIN 3
$2 x^{2} + 6 x = 0$	DELEN DOOR 2
$x^{2} + 3 x = 0$	ONTBINDEN
$x (x + 3) = 0$
$x = 0$ of $x = ‐ 3$

$3 (4 - 3 x) + x^{2} = 4 x^{2}$	HAAKJES WEG
$12 - 9 x + x^{2} = 4 x^{2}$	MIN $x^{2}$ , PLUS $9 x$ , MIN 12
$3 x^{2} + 9 x - 12 = 0$	DELEN DOOR 3
$x^{2} + 3 x - 4 = 0$	ONTBINDEN
$(x + 4) (x - 1) = 0$
$x = ‐ 4$ of $x = 1$

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

$x^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 4)}^{2}$
$2 x^{2} + 4 x + 4 = x^{2} + 8 x + 16$
$x^{2} - 4 x - 12 = 0$
$(x - 6) (x + 2) = 0$
$x = 6$ of $x = ‐ 2$

De oplossingen zijn $x = ‐ 2$ en $x = 6$ . Maar omdat $x > 0$ moet zijn, vervalt de oplossing $x = ‐ 2$ . De korte rechthoekszijde is 6, de lange rechthoekszijde is 8 en de schuine zijde is 10.

$x (x + 7) = 260$
$x^{2} + 7 x - 260 = 0$
$(x + 20) (x - 13) = 0$
$x = ‐ 20$ of $x = 13$
Alleen $x = 13$ voldoet.

$5 x^{2} = 405$
$x^{2} = 81$
$x = 9$ of $x = ‐ 9$
Alleen $x = 9$ voldoet.

$6 x + 6 (x - 6) = 168$
$12 x - 36 = 168$
$12 x = 204$
$x = 17$

10s

$x^{2} + {(x + 1)}^{2} + {(x + 2)}^{2} = {(x + 3)}^{2} + {(x + 4)}^{2}$
$3 x^{2} + 6 x + 5 = 2 x^{2} + 14 x + 25$
$x^{2} - 8 x - 20 = 0$
$(x - 10) (x + 2) = 0$
$x = 10$ of $x = ‐ 2$
De kleinste positieve oplossing van de vijf opeenvolgende getallen is 10.

$x^{2} + {(x + 1)}^{2} + {(x + 2)}^{2} + {(x + 3)}^{2} = {(x + 4)}^{2} + {(x + 5)}^{2} + {(x + 6)}^{2}$
$4 x^{2} + 12 x + 14 = 3 x^{2} + 30 x + 77$
$x^{2} - 18 x - 63 = 0$
$(x - 21) (x + 3) = 0$
$x = 21$ of $x = ‐ 3$
De kleinste positieve oplossing van de zeven opeenvolgende getallen is 21.

11s

prijs per persoon: $25 - 0,50 \cdot 7 =$ € 21,50
totale prijs: $17 \cdot 21,50 =$ € 365,50

prijs per persoon: $25 - 0,5 (x - 10) = 30 - 0,5 x$
totale prijs: $x \cdot (30 - 0,5 x) = 30 x - 0,5 x^{2}$

$30 x - 0,5 x^{2} = 432$
$x^{2} - 60 x + 864 = 0$
$(x - 36) (x - 24) = 0$
$x = 36$ of $x = 24$
$x = 36$ voldoet niet, want $11 \leq x \leq 30$ , dus alleen $x = 24$ voldoet.

$h + 11$

$h (h + 11) = 210$
$h^{2} + 11 h - 210 = 0$
$(h + 21) (h - 10) = 0$
$h = ‐ 21$ of $h = 10$
Er zijn 10 honden en 21 katten.

$h (37 - h) = 210$
$37 h - h^{2} - 210 = 0$
$h^{2} - 37 h + 210 = 0$
$(h - 30) (h - 7) = 0$
$h = 30$ of $h = 7$
Er zijn 30 honden en 7 katten of 7 honden en 30 katten.

honden	1	2	3	5	6	7	10	14
katten	210	105	70	42	35	30	21	15
honden	15	21	30	35	42	70	105	210
katten	14	10	7	6	5	3	2	1

Opp. Berends $= x^{2}$
Opp. Ermers $= (x - 30) (x - 40)$

Vergelijking:
$x^{2} = 2 (x - 30) (x - 40)$
$x^{2} = 2 x^{2} - 140 x + 2400$
$x^{2} - 140 x + 2400 = 0$
$(x - 20) (x - 120) = 0$
$x = 20$ of $x = 120$

$x = 20$ voldoet niet, want dan wordt de lengte en breedte van het land van Ermers negatief.

Afmetingen Berends is 120 bij 120 meter.
Afmetingen Ermers is 90 bij 80 meter.

${(x + 6)}^{2} = 441$
$x + 6 = 21$ of $x + 6 = ‐ 21$
$x = 15$ of $x = ‐ 27$

Opp. kleine vierkant $= 441 - 4 \cdot 6 \cdot 15 = 81$
Zijde kleine vierkant $= \sqrt{81} = 9$ cm

$d = \sqrt{9^{2} + 9^{2}} = \sqrt{162}$ cm

Alles door elkaar

$x^{2} - 10 x + 9 = 0$	ONTBINDEN
$(x - 9) (x - 1) = 0$
$x = 9$ of $x = 1$

$5 x^{2} = 80$	DELEN DOOR 5
$x^{2} = 16$
$x = 4$ of $x = ‐ 4$

${(3 + x)}^{2} = 49$
$3 + x = 7$ of $3 + x = ‐ 7$	MIN 3
$x = 4$ of $x = ‐ 10$

$12 - 2 x = 2 x^{2}$	PLUS $2 x$ , MIN 12
$2 x^{2} + 2 x - 12 = 0$	DELEN DOOR 2
$x^{2} + x - 6 = 0$	ONTBINDEN
$(x + 3) (x - 2) = 0$
$x = ‐ 3$ of $x = 2$

$x + 2 = 64$	MIN 2
$x = 62$

${(x + 2)}^{3} = 64$
$x + 2 = 4$	MIN 2
$x = 2$

Zie figuur. De kleine blauwe driehoek is gelijkvormig met de hele driehoek. De verhouding van rechthoekszijden van de grote driehoek zijn dus hetzelfde als die van de kleine driehoek, dus de andere rechthoekzijde van de kleine driehoek is $2 x$ . De andere zijde van de rechthoek is dus $40 - 2 x$ , dus $(40 - 2 x) x = 168$ .
Haakjes wegwerken, herleiden op $0$ en delen door $2$ geeft het gewenste resultaat.

$x^{2} - 20 x + 84 = 0 \Leftrightarrow (x - 6) (x - 14) = 0 \Leftrightarrow x = 6$ of $x = 14$ .

Rood: $(x + 1 + x - 4) (2 x - 3) = {(2 x - 3)}^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$
Blauw: $(2 x - 8) (x - 3) = 2 x^{2} - 14 x + 24$

$(2 x - 3) (x - 3) + (2 x - 8) (x + 1) + {(x - 4)}^{2} =$
$2 x^{2} - 9 x + 9 + 2 x^{2} - 6 x - 8 + x^{2} - 8 x + 16 =$ $5 x^{2} - 23 x + 9$

$x = 5$

$49$

Het hele schilderij heeft oppervlakte $(3 x - 6) (4 x - 11) = 81$ , dus $\frac{49}{81}$ is rood.

De andere diagonaal heeft lengte $x - 4$ . Sla een rechthoek om de vlieger, zie figuur. Die rechthoek heeft oppervlakte $60$ . Dus $x (x - 4) = 60$ .
Haakjes wegwerken en herleiden op $0$ geeft het gewenste resultaat.

$x^{2} - 4 x - 60 = 0 \Leftrightarrow (x - 10) (x + 6) = 0 \Leftrightarrow x = 10$ of $x = ‐ 6$ . Dus $x = 10$ .