priemgetal

Een positief getal dat je maar op één manier kunt schrijven als product van twee positieve gehele getallen, noemen we een priemgetal. Het getal 1 neemt een uitzonderingspositie in: we spreken af dat 1 geen priemgetal is.

ontbinden in factoren

Een veelterm schrijven als product van factoren, heet ontbinden in factoren.

Kwadratische vormen ontbinden in factoren
Een van de volgende manieren kun je gebruiken.

De factor $x$ buiten haakjes halen:
$x^{2} - 100 x = x (x - 100)$
Het merkwaardig product gebruiken:
$x^{2} - 100$ $= (x + 10) (x - 10)$
$x^{2} - 20 x + 100 = {(x + 10)}^{2}$
De som-product methode gebruiken:
$x^{2} - 20 x - 125 = (x + 5) (x - 25)$
Zoek twee getallen waarvan het product $‐ 125$ is en de som $‐ 20$ .
Maak hiervoor eventueel een tabel.

voorrangsregels

Machtsverheffen gaat vóór vermenigvuldigen en vóór het tegengestelde nemen.

Dus: $2 x^{2} = 2 \cdot x \cdot x$ en $‐ x^{2} = ‐ (x \cdot x)$

product is 0

Als het product van twee getallen nul is, dan is het ene getal nul of is het andere getal nul.

In algebrataal
Als $a \cdot b = 0$ , dan $a = 0$ of $b = 0$ .

Een dergelijke uitspraak geldt ook voor het product van drie of meer factoren dat nul is.

Distributiewetten

Voor alle getallen $a$ , $b$ en $c$ geldt:

$a (b + c) = a b + a c$
$a (b - c) = a b - a c$

Product van tweetermen
Voor alle getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ geldt:

$(a + b) (c + d) = a b + a d + b c + b d$

Merkwaardige producten
Voor alle getallen $a$ en $b$ geldt:

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

systematisch oplossen

Soms kun je een vergelijking ontbinden in factoren. In dat geval kun je de vergelijking oplossen met de regel: een product is 0 als minstens één van de factoren 0 is. Voordat je kunt ontbinden in factoren, moet je vaak een aantal bewerkingen uitvoeren, zoals:

op nul herleiden,
haakjes uitwerken,
termen rangschikken,
delen door een getal.

Voorbeeld
${(x + 3)}^{2} = ‐ {(x - 1)}^{2} + 58$
$x^{2} + 6 x + 9 = ‐ x^{2} + 2 x - 1 + 58$
$2 x^{2} + 4 x - 48 = 0$
$x^{2} + 2 x - 24 = 0$
$(x + 6) (x - 4) = 0$
$x = ‐ 6$ of $x = 4$

Controle:
${(x + 3)}^{2} = {(‐ 3)}^{2} = 9$ en $‐ {(x - 1)}^{2} + 58 = ‐ 49 + 58 = 9$
${(x + 3)}^{2} = 7^{2} = 49$ en $‐ {(x - 1)}^{2} + 58 = ‐ 3^{2} + 58 = 49$

Voorbeeld
We lossen de vergelijking $(x^{2} - 4) (x^{2} + 9) = 0$ op. Er zijn twee mogelijkheden:
Of $x^{2} = 4$ , dus $x = 2$ of $x = ‐ 2$ ,
of $x^{2} = ‐ 9$ , maar dat kan niet.
De vergelijking heeft dus twee oplossingen: 2 en $‐ 2$ .

vergelijkingen opstellen

Een rechthoek heeft oppervlakte 21; zijn lengte is 4 groter dan zijn breedte. Wat zijn de afmetingen?

Noem de breedte $x$ .
We krijgen dan de vergelijking: $x (x + 4) = 21$ .
Deze vergelijking heeft twee oplossingen: $‐ 7$ en 3.
De oplossing $‐ 7$ kan niet omdat lengte en breedte allebei positief moeten zijn. De breedte van de rechthoek is dus 3 en de lengte 7.

de graad van een vergelijking

De vergelijking $5 x = x^{2} + 4 x - 12$ is een tweedegraads vergelijking: de hoogste macht van $x$ in deze vergelijking is 2. Er zijn ook derde-, vierde- of tiendegraads vergelijkingen. De vergelijking $5 (x + 3) = 2 x - 5$ is een eerstegraads vergelijking.