21.4 De oppervlakte van een parallellogram en driehoek >

Oppervlakte van roosterfiguren

Hoeveel hokjes zijn de vijf figuren A, B, C, D en E groot? Geef op het werkblad aan hoe je te werk bent gegaan.

Waarschijnlijk heb je de figuren hierboven verdeeld in hele en halve hokjes of nog kleinere stukken. Twee halve hokjes zijn samen een heel hokje. Ook door de kleinere stukken samen te voegen probeer je hele hokjes te maken.

Soms is het handiger een rechthoek om de figuur heen te tekenen en de stukken die je dan te veel hebt van de rechthoek af te trekken.
Dat is bij figuur F hieronder gebeurd. Die rechthoek is $15$ hokjes groot. Daarvan moet je dan de oppervlakte van de twee lichtgekleurde driehoeken aftrekken.

Hoeveel hokjes zijn de vijf figuren F, G, H, I en J groot? Geef op het werkblad aan hoe je te werk bent gegaan.

De oppervlakte van een parallellogram

Vier parallellogrammen in een rooster.

Hoeveel hokjes is elk van de parallellogrammen groot?
Als je wilt, kun je van het werkblad gebruik maken.

Merk op dat de parallellogrammen even hoog zijn en aan de voet even breed (we zeggen dat ze gelijke bases hebben). Ze zijn wel verschillend van vorm, maar voor de oppervlakte doet dat er kennelijk niet toe.

Je hebt nu ontdekt (vul in):
als een parallellogram basis $2$ (hokjes) heeft en hoogte $6$ (hokjes), is de oppervlakte … hokjes.

De oppervlakte van een parallellogram met basis $b$ en hoogte $h$ is
$basis \cdot hoogte$ . In formule: $b \cdot h$ .
Let op: de hoogte moet loodrecht op de basis gemeten worden.

Uit een plank van $2$ dm breedte wordt een parallellogram gezaagd. De twee parallelle zaagsnedes beginnen $3,7$ dm van elkaar. Hoe schuin de parallelle zaagsnedes lopen weten we niet. Zie figuur.

Wat is de oppervlakte van het parallellogram?

Hoe ver moet je de zaagsnedes van elkaar laten beginnen, om ervoor te zorgen dat het parallellogram oppervlakte $5$ dm² krijgt?

Het parallellogram in opgave 2 van de intro kun je op verschillende manieren in één knip tot een rechthoek verknippen. Elk met een andere zijde van het parallellogram als basis. De kniplijn is de bijbehorende hoogte.

Het parallellogram in de figuur kun je met één knip tot een rechthoek verknippen als je de lange zijde als basis neemt. Als je de korte zijde als basis neemt, kan dat niet.

Verknip het parallellogram op het werkblad in twee keer knippen tot een rechthoek. De korte zijde van het parallellogram moet een zijde van de rechthoek zijn.

Opmerking:

Als je bij het parallellogram van opgave 22 de korte zijde als basis neemt, kun je de bijbehorende hoogte niet binnen het parallellogram tekenen.

Bij een parallellogram kun je twee zijdes als basis kiezen. Als je de basis eenmaal gekozen hebt, heb je voor de hoogte geen keus.

In de figuur zijn de twee bases met kleur aangegeven en de bijbehorende hoogtes met dezelfde kleur.

Hiernaast is in een assenstelsel parallellogram $O A B C$ getekend, met $A (6,0)$ en $C (3,4)$ .

Teken het parallellogram op roosterpapier.

Wat zijn de coördinaten van $B$ ?

Bereken de omtrek van het parallellogram.

(hint)

Bereken lijnstuk $O C$ met behulp van de stelling van Pythagoras.

Om de oppervlakte van het parallellogram te berekenen, kun je $O A$ als basis nemen.

Hoe groot is dan de bijbehorende hoogte en wat vind je vervolgens voor de oppervlakte van het parallellogram?
Controleer je antwoord door hokjes te tellen.

Bereken de hoogte van het parallellogram als je $O C$ als basis kiest.
Teken deze hoogte in je figuur en meet of je antwoord overeen komt.

De drie stroken tussen de twee evenwijdige lijnen hebben aan de boven- en onderkant dezelfde breedte.

Welke strook heeft de grootste oppervlakte?

Drie figuren: een parallellogram, een slingerfiguur en een zigzagfiguur. Alle drie hebben ze hoogte $6$ en ze hebben op elke hoogte breedte $2$ .

Welk van de drie heeft de grootste oppervlakte? Licht je antwoord toe.

Een parallellogram heeft zijden $6$ en $4$ cm.

Wat weet je van de oppervlakte van dat parallellogram?

De oppervlakte van een driehoek

Op het werkblad is drie keer een driehoek $A B D$ getekend tussen twee evenwijdige lijnen die een afstand van $2$ cm tot elkaar hebben. Het punt $D$ beweegt over de bovenste lijn, de lengte van $A B$ is in alledrie de driehoeken $3$ cm.

Teken op het werkblad in elk van de gevallen het punt $C$ (rechts van $D$ ) op de bovenste lijn zó, dat $A B C D$ een parallellogram is.

Wat is de oppervlakte van de parallellogrammen $A B C D$ ?
En van de driehoeken $A B D$ ?

Met twee gelijke driehoeken kun je op drie manieren een parallellogram maken.

Knip de zes driehoeken op het knipblad uit. Probeer de drie parallellogrammen te vinden.

Een driehoek is een half parallellogram. De formule om de oppervlakte te berekenen van een driehoek is dus $\frac{1}{2} \cdot b \cdot h$ .
Bij een driehoek kun je drie zijdes als basis kiezen. Als je de basis eenmaal gekozen hebt, heb je voor de hoogte geen keus.

Voorbeeld:

Op roosterpapier met hokjes van $1$ cm² zijn de driehoeken $A B C$ en $D E F$ getekend.

Als je in driehoek $A B C$ de zijde $A B$ als basis neemt, is de hoogte $3$ , dus de oppervlakte van driehoek is: $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 9 = 13 \frac{1}{2}$ .
Als je in driehoek $D E F$ de zijde $D E$ als basis neemt, is de hoogte $4$ , dus de oppervlakte van driehoek is: $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10$ .

De driehoek in de figuur is rechthoekig in $C$ . De rechthoekszijden zijn $5$ en $12$ .

Bereken $A B$ .

Als je de oppervlakte van driehoek $A B C$ wil berekenen, is het niet handig zijde $A B$ als basis te nemen.

Bereken de oppervlakte van driehoek $A B C$ .

Bereken de hoogte van driehoek $A B C$ als je zijde $A B$ als basis neemt.