21.5 De oppervlakte van allerlei veelhoeken >

De oppervlakte van een driehoek vervolg

Oppervlakte $A B C$ is $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ .

De zijde $A C$ kun je berekenen, want $\frac{1}{2} \cdot B C \cdot 10 = 48$ .
Dus $5 \cdot A C = 48$ , dus $A C = 9,6$ .

Noem de bijbehorende hoogte $h$ ,
dan $h^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 64$ , dus $h = \sqrt{64} = 8$ .

De oppervlakte van de driehoek is $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ .

Het snijpunt van de diagonalen noemen we $S$ , dan $B S = 2$ .
De stelling van Pythagoras in driehoek $A B S$ geeft: $A S^{2} = A B^{2} - B S^{2} = 20 - 4 = 16$ ,
dus $A S = 4$ , dus de lange diagonaal is $2 \cdot 4 = 8$ .

De oppervlakte van driehoek $A B D = \frac{1}{2} \cdot A S \cdot B D = 8$ , dus de oppervlakte van de ruit is $16$ .

$M$ is het midden van $A C$ .
Met de stelling van Pythagoras vind je: $A C = 20$ , dus $A M = 10$ .
Met de stelling van Pythagoras in driehoek $A M D$ vind je: $M D = 2$ .
Dus de oppervlakte van driehoek $A C D$ is $\frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 2 = 20$ . Verder is de opppervlakte van driehoek $A B C$ is $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ , dus de oppervlakte van vierhoek $A B C D$ is $96 + 20 = 116$ .

De oppervlakte van een trapezium

Verdeel het trapezium in een parallellogram (met basis $25$ en hoogte $20$ ) en een driehoek met basis $25$ en hoogte $20$ ).
De oppervlakte is dan $25 \cdot 20 + \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 20 = 750$ cm².

Noem de hoogte $h$ , dan $\frac{1}{2} \cdot h \cdot (8 + 5) = 26$ , dan $6,5 h = 26$ , dus $h = 4$ .

Het punt $E$ ligt op zijde $A B$ zó, dat $A D$ evenwijdig is met $B C$ .
Dan is $B E = 8 - 5 = 3$ , dus $B C = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ , dus de omtrek is $8 + 5 + 4 + 5 = 22$ .

Driehoek $A C D$ en driehoek $B C D$ hebben dezelfde basis, namelijk $C D$ , ook de hoogte van de driehoeken is hetzelfde. Dus de driehoeken $A C D$ en $B C D$ hebben dezelfde oppervlakte.
Dus dan zijn de oppervlaktes van de driehoeken $A S D$ en $B S C$ ook even groot. (Je haalt van de driehoeken $A C D$ en $B C D$ dezelfde driehoek af, namelijk $S C D$ .)

De oppervlakte van een vlieger

De vlieger bestaat uit twee rechthoekige driehoeken, elk met oppervlakte $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ cm².
De oppervlakte van de vlieger is dus $2 \cdot 30 = 60$ cm².

Lengte lange diagonaal is $\sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13$ cm.

$\frac{1}{2} \cdot 13 \cdot$ lengte korte diagonaal $= 60$
$6,5 \cdot$ lengte korte diagonaal $= 60$
Lengte van de korte diagonaal is $\frac{60}{6,5} = 9 \frac{3}{13}$ cm.

Voor letters zie plaatje.

$x = \sqrt{52^{2} - 20^{2}} = 48$ cm
$y = \sqrt{29^{2} - 20^{2}} = 21$ cm
Dus het andere latje is $48 + 21 = 69$ cm.

Oppervlakte rechthoekig stuk papier is $40 \cdot 69 = 2760$ cm².

Oppervlakte van de vlieger is $2760 : 2 = 1380$ cm².

Oppervlakte van de vierhoek is $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ cm².