De omtrek en de oppervlakte van een cirkel

In hoofdstuk 12 hebben we kennis gemaakt met het getal $π$ .
$π$ is het getal dat we krijgen wanneer we de omtrek van een cirkel delen door de diameter van die cirkel. Anders gezegd:
De omtrek van een cirkel is $π$ $\times$ de diameter van de cirkel.

Neem enkele voorwerpen die op zekere plaats een cirkelvormige doorsnede hebben (bijvoorbeeld een fles, een colablikje,...). Span er op die plaats een draadje om.

Schrijf steeds het getal op dat je vindt door de lengte van het draadje te delen door de diameter van de cirkel.

Als je bij het maken van de vorige opgave nauwkeurig hebt gemeten en gerekend, heb je steeds een getal van ongeveer $3,1$ gevonden, dat is een benadering van $π$ .
Een betere benadering van $π$ vind je op je rekenmachine:
$π \approx 3,14$ .

$π$ is een irrationaal getal, het heeft dus (oneindig) meer decimalen dan je rekenmachine kan geven. En er valt geen regelmaat in te ontdekken.
Als een antwoord exact gevraagd wordt laat je $π$ in je antwoord staan.

Hieronder zie $π$ uitgeschreven in een aantal decimalen.

De cirkel in het plaatje heeft straal $r$ . De vier hoekpunten van het kleine vierkant liggen op de cirkel; het zijn de middens van de vier zijden van het grote vierkant.

Druk de oppervlaktes van het kleine en het grote vierkant uit in $r$ .

De oppervlakte van een cirkelschijf met straal $r$ ligt dus tussen $2 r^{2}$ en $4 r^{2}$ .

Knip de cirkel op het werkblad in sectoren en leg daarvan een strook zoals in de figuur is voorgedaan.

Als je de cirkel in nog meer sectoren verdeelt, lijkt de strook nog meer op een rechthoek.

Wat is de oppervlakte van de rechthoek, die ontstaat uit een cirkel met een straal van $2$ cm? Laat $π$ in je antwoord staan.
En van een rechthoek die ontstaat uit een cirkel met straal $5$ cm?

De omtrek van een cirkel met straal $r$ is $2 π r$ (of $π$ × diameter).
De oppervlakte van een cirkel met straal $r$ is $π r^{2}$ .

In een cirkelvormig bad ligt een cirkelvormig eiland. De diameters van de cirkels zijn $100$ en $50$ meter.
Bereken de wateroppervlakte exact en geef daarna een benadering in m².

Van een vierkant van $4$ bij $4$ zijn van de hoeken kwartcirkels afgeknipt, met een straal van $2$ .
Bereken exact de oppervlakte van het stervormige figuur dat overblijft.

De fraaie figuur wordt begrensd door halve cirkels. De grootste breedte van de figuur is $4$ cm.

Bereken de oppervlakte exact en geef een benadering in mm² nauwkeurig.

Bereken de omtrek van de figuur exact en geef een benadering in mm nauwkeurig.

Vergrotingsfactor

In de figuur hiernaast zijn twee vierkanten getekend. De zijden van het kleine vierkant zijn $1$ .

Bereken met verknippen de oppervlakte van het grote vierkant.

Wat is de zijde van het grote vierkant exact?

Het kleine vierkant van opgave 41 wordt met factor $f$ vermenigvuldigd tot het grote vierkant.
Er geldt: $f^{2} = 2$ , dus $f = \sqrt{2}$ .

Als je figuur $V$ met factor $f$ vergroot tot figuur $W$ , dan is:

omtrek $W =$ $f \cdot$ omtrek $V$ ;
oppervlakte $W =$ $f^{2} \cdot$ oppervlakte $V$ .

Voorbeeld:

Neem aan: omtrek $V = 10$ , oppervlakte $V = 16$ en de vergrotingsfactor $f = 1,5$ .
Dan is

de omtrek van $W = 1,5 \cdot 10 = 15$ en
de oppervlakte van $W = {1,5}^{2} \cdot 16 = 36$ .

Het rechthoekig trapezium met hoogte $4$ en oppervlakte $24$ wordt met factor $\frac{1}{2}$ vermenigvuldigd.

Bereken de oppervlakte van het kleine trapezium.

Het kleine trapezium past ook precies vier keer in het grote.

Laat op het werkblad zien hoe dat gaat. Knip eventueel de kleine trapezia uit.

De hoogte van het grote trapezium is $4$ en de zijde boven is de helft van de zijde onder.

Bereken hoe lang die zijden zijn.

(hint)

Noem de lengte van de zijde boven

x

dan is de lengte van de zijde onder

\dots

en de oppervlakte van het trapezium

\dots

.
Schrijf op de stippellijnen uitdrukkingen in

x

Hiernaast is een regelmatige zeshoek getekend met zijden van lengte $2$ . Je kunt de zeshoek verdelen in gelijkzijdige driehoeken met zijde $2$ .

Hoeveel?

Bereken de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijde $2$ , zie bijvoorbeeld opgave 29.

Wat is de oppervlakte van de regelmatige zeshoek?

In de vorige $2$ opgaven hebben we het vierkant en de regelmatige driehoek bekeken. We kunnen die doorzagen tot speciale rechthoekige driehoeken.

Speciale driehoeken

Herhaling

De zijden van een $30 ‐ 60 ‐ 90$ -graden driehoek verhouden zich als $1 : 2 : \sqrt{3}$ .
De zijden van een $45 ‐ 45 ‐ 90$ -graden driehoek verhouden zich als $1 : 1 : \sqrt{2}$ .

Opmerking:

Een $30 ‐ 60 ‐ 90$ -graden driehoek noemen we ook een halve regelmatige driehoek en een $45 ‐ 45 ‐ 90$ -graden driehoek een half vierkant.

Hiernaast is een gelijkzijdige driehoek in een vierkant getekend. Twee hoekpunten van het vierkant zijn ook hoekpunten van de driehoek. De oppervlakte van het vierkant is $16$ .

Bereken de oppervlakte van de driehoek.

Welk deel heeft een grotere oppervlakte, het lichte deel of het donkere deel?

Kun je dat zonder te rekenen bepalen?

10s

Hiernaast is een gelijkzijdige driehoek in een vierkant getekend. Twee hoekpunten van het vierkant zijn ook hoekpunten van de driehoek. De oppervlakte van de driehoek is $100 \sqrt{3}$ .

Bereken de oppervlakte van het vierkant.

Welk deel heeft een grotere oppervlakte, het lichte deel of het donkere deel?

Kun je dat zonder te rekenen bepalen?

De gegevens van driehoek $A B C$ staan in de figuur.

Bereken $A B$ en de oppervlakte van driehoek $A B C$ exact.

Onmogelijk?

In de figuur zie je een platte ster gemaakt van papier. De ster is samengesteld uit twee verschillende vierkanten. Die zijn met een schaar op een paar plaatsen ingeknipt, en daarna in elkaar geschoven met deze figuur als resultaat.

Kun je deze ster namaken zonder te verknippen tot losse stukken?

(hint)

Welk deel heeft een grotere oppervlakte? Het donkere of het lichte deel?

We kijken naar de achthoekige stervorm als een geheel.
Gegeven is dat de zijden van de stervorm $1$ cm zijn.

Kan je de omtrek van een van de vierkanten berekenen?

(hint)

Gebruik de speciale $45 ‐ 45 ‐ 90$ -graden driehoek.

Wil je meer oefenen met cirkels en speciale driehoeken?
Probeer dan eens het werkblad: Knippen en plakken: Oppervlaktes.