21.6  Cirkels en speciale driehoeken >
De omtrek en de oppervlakte van een cirkel
1

De getallen die je vindt zijn steeds iets groter dan 3 .

2
a

Het grote vierkant heeft zijde 2 r , en dus oppervlakte 4 r 2 .
Het kleine vierkant is half zo groot en heeft dus oppervlakte 2 r 2 .

b
c

Zie de figuur bij vraag b.
De afmetingen van de rechthoek zijn r (de straal van de cirkel) en 2 (de halve omtrek van de cirkel). De oppervlakte is dus 2 2 π = 4 π  cm2.
De oppervlakte is 5 5 π = 25 π  cm2.

3

De wateroppervlakte is π 50 2 π 25 2 = 2500 π 625 π = 1875 π  m2.
Dat is afgerond 5890  m2.

4

De oppervakte van het vierkant is 4 2 = 16 .
De vier afgeknipte hoeken vormen samen een hele cirkel met oppervlakte π 2 2 = 4 π .
Blijft over: 16 4 π .

5
a

De figuur ontstaat door uit een halve cirkel met straal 2 cm twee halve cirkels met straal 1 cm weg te nemen.
De oppervlakte die je overhoudt is π 2 2 : 2 2 ( π 1 2 : 2 ) = π  cm2, dat is ongeveer 314  mm2.

b

De omtrek bestaat uit een halve cirkel met straal 2  cm en twee halve cirkels met straal 1  cm.
De omtrek is dus: π 2 + 2 π 1 = 4 π  cm, dat is ongeveer 126  mm.

Vergrotingsfactor
6
a

De driehoeken hebben als oppervlakte de helft van de oppervlakte van het grote vierkant, dus de oppervlakte van het grote vierkant is 2 .

b

Zijde van het grote vierkant is 2 .

7
a

Oppervlakte van het kleine trapezium is ( 1 2 ) 2 24 = 1 4 24 = 6 .

b
c

Noem de lengte van de zijde boven x dan is de lengte van de zijde onder 2 x en de oppervlakte van het trapezium 1 2 4 ( 2 x + x ) = 6 x .
Dus 6 x = 24 , dus x = 4 .
De zijde boven is 4 en de zijde onder is 8 .

8
a

In 6 gelijkzijdige driehoeken.

b

Teken de hoogtelijn uit een van de hoekpunten van de driehoek. De lengte hiervan noemen we h , dan volgt uit de stelling van Pythagoras: h 2 = 2 2 1 2 = 3 , dus h = 3 en de oppervlakte is 1 2 2 3 = 3 .

c

Oppervlakte van de regelmatige zeshoek is 6 3 .

Speciale driehoeken
9
10
a

De zijde van het vierkant is 4 , dus de hoogte van de driehoek is 2 3 en de oppervlakte van de driehoek is 2 3 2 = 4 3 .

b

Het lichte deel onder de stippellijn heeft dezelfde oppervlakte als de driehoek. Dus het lichte deel heeft de grootste oppervlakte.

9s
10s
a

Noem de zijde van het vierkant x , dan is de oppervlakte van de driehoek 1 2 x 1 2 x 3 = 1 4 x 2 3 , dus de oppervlakte van het vierkant is x 2 = 400 .

b

Het lichte deel onder de stippellijn heeft dezelfde oppervlakte als de driehoek. Dus het lichte deel heeft de grootste oppervlakte.

11

Het midden van A B noemen we M . Driehoek A C M is een 30 60 90 graden driehoek. Dus C M = 1 2 10 = 5 en A M = 5 3 .
Dus A B = 10 3 en de oppervlakte van driehoek A B C is 5 5 3 = 25 3 .

12
a

Ja, dat kan.

b

Allebei de delen zijn evengroot.

c

Omtrek is 4 ( 2 + 2 ) = 8 + 4 2 cm.