21.7  Verdieping: Sangaku >
Sangaku
1

A B is de lengte van een diagonaal. De andere diagonaal is de straal van de cirkel. Dus A B = 3 .

2

De afstand van het middelpunt van het kleinste cirkeltje tot het midden van een groter cirkeltje is 1 2 + 1 2 = 2 (met Pythagoras).
De straal van een groter cirkeltje is 1 .
Dus de straal van het kleine cirkeltje is 2 1 .

3

Driehoeken A D M , M D C en M B C zijn gelijkzijdig.
De oppervlakte van zo’n driehoek is 1 2 2 3 = 3 .
De oppervlakte van A B C D is dus 3 3 = 3 3 .

4

De oppervlaktes zijn gelijk.
Bij verdubbeling van de straal van een cirkel wordt de oppervlakte 4 maal zo groot.
De verdeling van de oppervlaktes is 1 : 3 : 5 .
Door onderzijde is het spiegelbeeld hiervan en dus 5 : 3 : 1 .
Dus elk van de oppervlaktes heeft de verhouding 6 : 6 : 6 en dus gelijk.

5

Hieronder een aantal mogelijkheden.

6

De omgeschreven cirkel heeft een straal van 2 keer de straal van de kleine cirkel. Dus de oppervlakte van de omgeschreven cirkel is 2 keer zo groot als de oppervlakte van de kleine cirkel.

7

Omtrek van het oker gekleurde gebied = omtrek halve kleine grijze cirkel + omtrek grote halve grijze cirkel + omtrek halve oker gekleurde cirkel.
Omtrek van het oker gekleurde gebied is 1 2 x π + 1 2 ( x 4 ) π + 2 π = 1 2 x π + 2 π 1 2 x π + 2 π = 4 π .

8
a

Oppervlakte van de oorspronkelijke zeshoek is 6 3 .

b

Oppervlakte van de nieuwe zeshoek is 3 4 6 3 = 4 1 2 3 .