21.9 Extra opgaven

Hoofdstukken > Oppervlakte pilot

Intro: grote lengtes klein oppervlak

De omtrek is $4 \cdot 9 = 36$ en de oppervlakte is $9^{2} = 81$ .

De omtrek is $12 \cdot 3 = 36$ en de oppervlakte is $5 \cdot 3^{2} = 45$ .

De omtrek is $36 + 16 = 52$ en de oppervlakte is $5 \cdot 5 \cdot 1^{2} = 25$ .

Lengte spiraal is $(5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40 + 45 + 50) \cdot 2 = 550$ mm.

Oppervlakte kleinste vierkant is $50^{2} = 2500$ mm².

Omtrek en oppervlakte

Zijde driehoek is $36 : 12 = 3$ cm. Omtrek zeshoek is $6 \cdot 3 = 18$ cm.

Oppervlakte tegel is $\frac{6 \cdot 6}{8 \cdot 12} = 0,375$ m².

Oppervlakte wit is $8 \cdot 10 - 37 = 43$ .
Oppervlakte oker is $12 \cdot 9 - 43 = 65$ .

Figuren verknippen

Je kunt er een rechthoek van leggen:

Oppervlakte kamer is $6 a$ .

Je kunt het gebied verknippen tot een rechthoek.
De zijde is $\sqrt{2}$ . De oppervlakte is dus $2$ .

Oppervlakte van parallellogram en driehoek

$12$ ; $18$ ; $13$ ; $9$ ; $4 π$ ; $5 \frac{3}{4}$

De oppervlakte van de twee blauwe trapezia samen is $18$ , de oppervlakte van de twee oker driehoeken samen is $5$ , dus de oppervlakte van parallellogram $A B C D$ is $40 - 18 - 5 = 17$ .

Noem die hoogte $h$ , dan $h \cdot B C = 17$ .
$B C = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ , dus $h = \frac{17}{5} = 3,4$ .

De oppervlakte van $A B C D$ is $10 \cdot 7,5 = 75$ m².

$B C = 75 : 6 = 12,5$ m

$B C^{2} = 15^{2} + 20^{2} = 625$ , dus $B C = \sqrt{625} = 25$ .

Oppervlakte $A B C$ is $\frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150$ .

$\frac{1}{2} \cdot B C \cdot A D = 150$
$\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot A D = 150$
$12 \frac{1}{2} \cdot A D = 150$
$A D = 12$

Teken de hoogtelijn en bereken de hoogte $h$ van de driehoek met de stelling van Pythagoras.

$h = \sqrt{17^{2} - 8^{2}} = 15$
Oppervlakte driehoek is $\frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 120$ .

$C D = 2 \cdot 84 : 14 = 12$

$B D = \sqrt{15^{2} - 12^{2}} = 9$ , $A D = 14 - 9 = 5$

$A C = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13$

Allerlei figuren

Omdat $∠ B A S = ∠ D C S$ en $∠ A B S = ∠ C D S$ ( $Z$ -hoeken); gelijkvormigheidskenmerk $h h$ .

De gelijkvormigheidsfactor van driehoek $C D S$ naar driehoek $A B S$ is $2$ (dat zie je aan de zijden $C D$ en $A B$ ). Dus is de hoogte van driehoek $A B S$ ook $2$ keer zo groot als die van driehoek $C D S$ . Omdat de hoogtes samen $3$ zijn, zijn de hoogtes afzonderlijk $2$ en $1$ .

Oppervlakte $A B S$ is $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6$ en oppervlakte $C D S$ is $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1 \frac{1}{2}$ .

De oppervlakte van de driehoeken $A B D$ en $A B C$ is $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$ . Trek daar de oppervlakte van driehoek $A B S$ vanaf en je vindt de oppervlakte van de driehoeken $A D S$ en $B C S$ : $9 - 6 = 3$ .

Oppervlakte parallellogram is $2 \cdot 4 = 8$ ; oppervlakte driehoek is $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ .
Dus is de oppervlakte van het trapezium $8 + 8 = 16$ .

Oppervlakte ene driehoek is $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ ; oppervlakte andere driehoek is $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$ .
Dus is de oppervlakte van het trapezium $12 + 4 = 16$ .

Het parallellogram heeft basis $6 + 2$ en heeft oppervlakte $8 \cdot 4 = 32$ .
Het trapezium is de helft daarvan en heeft dus oppervlakte $16$ .

Verdeel het trapezium in een vierkant van $3$ bij $3$ en een rechthoekige driehoek.
Oppervlakte trapezium is $3 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 13 \frac{1}{2}$ .

Cirkels en speciale driehoeken

De omtrek bestaat uit acht halve cirkels. De totale lengte is dus die van vier hele cirkels: $4 \cdot 2 π \cdot 1 = 8 π$ cm.

Je kunt de figuur verknippen tot een vierkant.
De oppervlakte is dus $4 \cdot 4 = 16$ cm².

We kiezen als basis een zijde van lengte $8$ . De bijbehorende hoogte noemen we $h$ , dan $h = 6 : \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ en de oppervlakte is $8 \cdot 3 \sqrt{2} = 24 \sqrt{2}$ .

Kies als basis de zijde met lengte $8$ en noem de bijbehorende hoogte weer $h$ , dan $h = 3 \sqrt{3}$ en de oppervlakte van het parallellogram is $3 \sqrt{3} \cdot 8 = 24 \sqrt{3}$ .

Gemengde opgaven

De stukken 1, 2 en 3 samen zijn even groot als de stukken 4, 5 en 6 samen.
De stukken 1 en 4 zijn even groot en de stukken 3 en 6 zijn even groot.
Dus zijn de stukken 2 en 5 ook even groot.

Driehoek $A D C$ is even hoog als driehoek $D B C$ , maar heeft een $2$ keer zo grote basis, dus een $2$ keer zo grote oppervlakte. Die is dus $42$ .

Driehoek $A E D$ is even hoog als driehoek $E C D$ , maar de bases verhouden zich als $4 : 3$ . Hun oppervlaktes verhouden zich dus ook als $4 : 3$ .
Dus is driehoek $D C E$ driezevende deel van driehoek $A D C$ .
Zijn oppervlakte is dus $\frac{3}{7} \cdot 42 = 18$ .

De oppervlakte van het rechter parallellogram is $1 \frac{1}{2} \cdot 2 = 3$ keer zo grote oppervlakte. De oppervlaktes verhouden zich dus als $3 : 1$ .

De twee witte driehoeken vormen een rechthoek van $5$ bij $1,5$ . Door deze en het kleine vierkant van het grote vierkant weg te halen, houd je de oker pijl over. Zijn oppervlakte is $5^{2} - {3,5}^{2} - 5 \cdot 1,5 = 5,25$ .

De trapezia hebben hoogte $3$ . Hun oppervlakte is $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (x + y) = 1,5 x + 1,5 y$ . Dit is één derde van de oppervlakte van het hele vierkant.
Dus $1,5 x + 1,5 y = 6^{2} : 3 = 12$ . Delen door $1,5$ geeft $x + y = 8$ .

Het middenstuk heeft oppervlakte $36 : 3 = 12$ .
De oker driehoek is de helft daarvan en heeft dus oppervlakte $6$ .
De hoogte van die driehoek is $3$ , dus is zijn basis $4$ . Dus liggen $A$ en $B$ $4$ cm van elkaar.

De oppervlakte van de vierkanten is $121$ , $81$ , $49$ en $25$ cm².
Noem de oppervlakte van de witte stukken (de overlappingen) van links naar rechts: $x$ , $y$ en $z$ .
De blauwe oppervlakte is dan $(121 - x) + (49 - y - z) = 170 - x - y - z$ en de oker oppervlakte is $(81 - x - y) + (25 - z) = 106 - x - y - z$ .
De oppervlaktes verschillen dus $64$ .

De oppervlakte van het vierkant is $4^{2} = 16$ cm².
Oppervlakte kwartcirkel is $\frac{1}{4} \cdot π \cdot 2^{2} = π$ .
Oppervlakte oker is $16 - 2 π \approx 9,72$ cm².

De strook bestaat uit drie rechthoeken (elk met oppervlakte $4 \cdot 1$ ) en drie sectoren die samen een volle cirkel vormen.
De oppervlakte van de strook is $3 \cdot 4 + π \cdot 1^{2} = 12 + π \approx 15,14$ cm².

Verdeel driehoek $B C D$ in twee driehoeken zoals in de figuur. Je ziet dan dat de uitstekende driehoeken samen even groot zijn als het oker gebied. Dat oker gebied is zelf weer de helft van rechthoek $A B C D$ .
Dus rechthoek $D B E F$ heeft oppervlakte $12$ cm².

In de verdeling zie je dat het grijze gedeelte bestaat uit $4$ van de $8$ trapezia. Dus de helft is blauw.

Diameter van de aarde is $\frac{40.000.000}{π}$ meter, de straal is daar de helft van en dus $\frac{40.000.000}{2 π}$ m.
Diameter van de aarde tot het verlengde touw is $\frac{40.000.001}{π}$ meter, de straal is daar de helft van en dus $\frac{40.000.001}{2 π}$ meter.
Het verschil is $\frac{40.000.001}{2 π} - \frac{40.000.000}{2 π} = \frac{1}{2 π} \approx 0,159...$ meter, dus net geen $16$ cm.
Een kat zou er wellicht net onderdoor kunnen kruipen.
Het aardige is dat dit onafhankelijk is van de grootte van de bol. Ook bij het verlengen met een meter van een touw dat strak om een voetbal zit, zal het touw net geen $16$ cm van de bal af komen te zitten.