Beeldschermen

Bij traditionele beeldschermen is de verhouding tussen breedte en hoogte meestal 4 : 3. Dat betekent dat de breedte $\frac{4}{3}$ keer zo groot is als de hoogte, en omgekeerd dat de hoogte $\frac{3}{4}$ keer zo groot is als de breedte. Anders gezegd: als je de breedte door de hoogte deelt, dan is de uitkomst ongeveer 1,33.
En omgekeerd: als je de hoogte door de breedte deelt, dan is de uitkomst 0,75.

Van een laptop is het beeldscherm 30,5 cm breed en 22,9 cm hoog.

Laat met een berekening zien dat de verhouding van breedte en hoogte ongeveer gelijk is aan $4 : 3$ .

Als je de breedte en de hoogte in inches uitdrukt - zoals in Engelstalige landen gebruikelijk is - komen er mooiere getallen uit. (1 inch $= 2,54$ cm.)
Wat zijn de breedte en de hoogte van het beeldscherm uitgedrukt in inches? Rond je antwoord af op gehele getallen.

Aan de afmetingen in inches zie je duidelijk dat het scherm van de laptop een 4:3-beeldscherm is. Een beeldscherm met deze maten wordt meestal aangeduid als een 15 inch beeldscherm. Dat betekent dat de diagonaal daarvan 15 inch lang is. De meeste vaste computers hebben een groter beeldscherm, met dezelfde verhouding 4:3.
Bij een 17 inch-scherm is de diagonaal 17 inch.

Bereken de breedte en de hoogte van zo'n beeldscherm, in cm. Geef je antwoord in twee decimalen.

Bij normale televisieschermen is de verhouding tussen breedte en hoogte van het scherm 4:3. Maar bij breedbeeldtelevisie is de verhouding tussen breedte en hoogte van het scherm 16:9.

Het beeldscherm van een breedbeeldtelevisie is 22,9 cm hoog. Hoe breed is dat beeldscherm dan? Geef je antwoord in twee decimalen.

Er zijn televisieprogramma's en films zowel in het formaat 4:3 als in breedbeeld. Wanneer een programma in het formaat 4:3 op een breedbeeldtelevisie wordt uitgezonden, ontstaan er aan de zijkanten zwarte balken. Om dat te vermijden wordt het beeld vaak in de breedte opgerekt, zodat de zwarte balken aan de zijkant verdwijnen. Het nadeel is dat alle mensen op het beeld verbreed worden. De nieuwslezer krijgt opeens een erg dik hoofd.

Hoeveel keer zo dik is het hoofd van de nieuwslezer dan geworden?

Twee figuren zijn gelijkvormig als de ene een uitvergroting is van de andere.

Bij gelijkvormige figuren ontstaat een tweede figuur uit een eerste door de eerste figuur in alle richtingen met dezelfde factor uit te rekken. (Die factor kan ook kleiner dan 1 zijn.)

Welk van de rechthoeken in het plaatje is gelijkvormig met rechthoek $A$ ?

En welke met rechthoek $B$ ?

Vermenigvuldigen vanuit een punt

We vergroten de afstand van de punten $P$ , $Q$ en $R$ tot $C$ met de factor 3. Je krijgt dan de punten $K$ , $L$ en $M$ . We zeggen: driehoek $P Q R$ is vanuit $C$ vermenigvuldigd met de factor 3. De beeldfiguur is driehoek $K L M$ . Driehoek $P Q R$ heet het origineel. Het punt $C$ heet centrum van vermenigvuldiging.

De plaatjes in deze opgave staan ook op het werkblad.

Vermenigvuldig de driehoek met factor $1 \frac{1}{2}$ vanuit het aangegeven punt buiten de driehoek. Van een van de hoekpunten is het beeld al getekend.

Vermenigvuldig de driehoek vanuit het hoekpunt $A$ met factor $\frac{1}{2}$ .

Vermenigvuldig de rechthoek vanuit het aangegeven punt erbuiten met factor 2.

Vermenigvuldig de rechthoek vanuit het aangegeven punt erbinnen met factor $\frac{1}{2}$ .

Met negatieve factor

Je kunt de vermenigvuldigingsfactor ook negatief nemen. De beeldfiguur (het resultaat van de vermenigvuldiging) komt dan aan de andere kant van het centrum te liggen. Bovendien draait de figuur 180 graden.
In de tekening hiernaast is de vemenigvuldigingsfactor $‐ \frac{1}{2}$ . Alle afstanden tot het centrum worden $\frac{1}{2}$ keer zo groot.

Kleur de beeldfiguur van de driehoek bij vermenigvuldiging vanuit $C$ met de factor $\frac{2}{3}$ .

Kleur ook de beeldfiguur van de driehoek bij vermenigvuldiging vanuit $C$ met de factor $‐ \frac{2}{3}$ .

Vermenigvuldig de driehoek vanuit het aangegeven punt met factor $‐ 1$ .

Vermenigvuldig de rechthoek vanuit het aangegeven punt op de zijde met factor $‐ \frac{1}{2}$ .

Vermenigvuldig de cirkel vanuit het aangegeven punt op de rand met factor $‐ 1$ .

Vermenigvuldig dezelfde cirkel ook ten opzichte van het middelpunt met de factor $‐ \frac{2}{3}$ .

Bij een vermenigvuldiging vanuit een zeker punt $C$ is de grote rechthoek beeldfiguur van de kleine.

Bepaal de vermenigvuldigingsfactor en bijbehorende centrum. Er zijn twee mogelijkheden.
Schrijf je werkwijze op.

Een toneelspeler staat voor het voetlicht. Zo ontstaat een schaduw op het decor. De toneelspeler is 1,80 m lang. Hij staat 2 m van het voetlicht en 3 m van het decor. We willen berekenen hoe lang zijn schaduw op het decor is.

We kunnen de situatie schematisch weergeven in driehoeken.

$A$ is het voetlicht, $D B$ is de toneelspeler en $E C$ is de schaduw op het decor. $A B = 2$ , $B C = 3$ en $D B = 1,8$ .
Driehoek $A C E$ is een vergroting van driehoek $A B D$ .

Wat is de vergrotingsfactor? Misschien helpt het als je de twee driehoeken afzonderlijk bekijkt.

Hoe lang is de schaduw $E C$ ?

Rekenen met vergrotingen

De lijnen $B C$ en $D E$ in het plaatje zijn evenwijdig. Verder geldt: $A B = 8$ , $B C = 14$ , $C E = 6$ en $D E = 21$ . Van de lijnstukken $B D$ en $A C$ is de lengte nog niet bekend. Die lengtes zijn aangegeven met $x$ en $y$ . Die gegevens staan ook in het plaatje.

Je kunt in het plaatje twee driehoeken zien: driehoek $A B C$ en driehoek $A D E$ . Driehoek $A D E$ kun je beschouwen als het beeld van driehoek $A B C$ bij vermenigvuldiging vanuit centrum $A$ . De vermenigvuldigingsfactor kun je vinden door twee corresponderende lijnstukken te vergelijken waarvan de lengte bekend is.

Schets de twee driehoeken, origineel en beeld, naast elkaar zoals in de vorige opgave en zet alle maten erin.
Wat is de vermenigvuldigingsfactor?

Bij deze vergroting wordt lijnstuk $A B$ vergroot tot lijnstuk $A D$ .

Hoe lang is dus lijnstuk $A D$ ?

Hoe lang is lijnstuk $B D$ ?

Lijnstuk $A E$ is $1 \frac{1}{2}$ keer zo groot als lijnstuk $A C$ .

Hoe lang is lijnstuk $A C$ dus?

In het plaatje is $S T$ evenwijdig aan $Q R$ . De overige gegevens staan in de tekening.

Driehoek $P Q R$ ontstaat uit driehoek $P S T$ door met een negatieve factor vanuit $P$ te vermenigvuldigen.

Wat is die factor?

Bereken $x$ en $y$ .

Van driehoek $A B C$ hieronder is gegeven: $A B = 56$ , $B C = 52$ en $C A = 60$ . Het punt $D$ ligt op zijde $A C$ zó, dat $A D = 15$ . Het punt $E$ ligt op lijnstuk $B C$ zó, dat lijn $D E$ evenwijdig is met lijn $A B$ .

Bepaal met welke factor driehoek $D E C$ is vergroot tot driehoek $A B C$ .

Bereken $D E$ en $C E$ .

De lijnen $E D$ en $C A$ zijn evenwijdig. Voor de overige gegevens: zie het plaatje.

Je kunt vermenigvuldigen vanuit het centrum $B$ , zó dat driehoek $B C A$ het beeld is van driehoek $B E D$ . We noemen dit vermenigvuldigen van klein naar groot.

Wat is de vermenigvuldigingsfactor van klein naar groot?

Je kunt ook vermenigvuldigen vanuit het centrum $B$ , zó dat driehoek $B E D$ het beeld is van driehoek $B C A$ . We noemen dit vermenigvuldigen van groot naar klein.

Wat is de vermenigvuldigingsfactor van groot naar klein?

Waarom geldt $x + 9 = 2 \frac{1}{2} x$ ?

Los de vergelijking uit het vorige onderdeel op.

Bereken $y$ .

10s

12s

$A B C D$ is een rechthoek van 8 bij 6. De diagonaal $B D$ heeft lengte 10. $P$ ligt op lijn $A B$ , $Q$ op zijde $A D$ en $S$ op zijde $C D$ . $R$ is het snijpunt van $S P$ en $B D$ .
Er geldt: $P A = 3$ , $Q A = 4$ , $P Q = 5$ .

Bereken $D S$ , $Q R$ en $D R$ (niet noodzakelijk in deze volgorde).

11s

13s

De lijnen $A B$ en $D E$ zijn evenwijdig. De andere gegevens staan in de figuur.

Stel een vergelijking voor $x$ op en bereken hiermee $x$ .

Bereken $y$ .

$A B C D$ is een rechthoek. Op zijde $C D$ ligt een punt $P$ zó, dat $D P = 2$ en $C P = 4$ . Lijn $P B$ snijdt diagonaal $A C$ in $S$ . Er geldt: $∠ C A B = 23 °$ en $∠ C B P = 58 °$ .

Bereken de hoeken van driehoek $A S B$ en van driehoek $C S P$ .

Bereken de verhoudingen $A S : S C$ en $B S : S P$ .

In de figuur is $P Q$ evenwijdig aan $R S$ en $T Q$ evenwijdig aan $U S$ .

Bereken $x$ , $y$ , $z$ en $w$ .

Zijn de Daltons gelijkvormig? Licht je antwoord toe.