15.6 Extra opgaven

Van de kubussen zijn op twee manieren drie plakjes gesneden. De plakjes zijn overal even dik.

De snijvlakken bij de linker kubus zijn rechthoeken. Zijn die gelijkvormig? Licht je antwoord toe.

Zijn de snijvlakken bij de rechter kubus gelijkvormig? Licht je antwoord weer toe.

De ribben van de twee vierzijdige piramides zijn even lang.

Teken op het werkblad in elk van de twee figuren een aantal evenwijdige snijvlakken. Zorg ervoor dat de doorsneden bij de ene piramide wel en bij de andere niet gelijkvormig zijn.

Een driezijdig prisma is op halve hoogte in tweeën gezaagd, evenwijdig met de bodem.

Is het snijvlak gelijkvormig met de bodem? Zo ja, wat is dan de vermenigvuldigingsfactor?

Is het bovenste deel van het in tweeën gezaagde prisma gelijkvormig met het gehele prisma?
Zo ja, wat is dan de vermenigvuldigingsfactor?

Hoe vaak past het bovenste deel in het gehele prisma?

Tegen een huis staan twee ladders, even steil.
De grote ladder is 12 meter lang. Onderaan staat de ladder 4 meter van de muur. De kleine ladder is 9 meter lang.

Hoe ver staat de kleine ladder onderaan van de muur? Maak een tekening.

Iemand zet nog een derde ladder tegen de muur. Deze is 8 meter lang en wordt onderaan 2,6 meter van de muur gezet.

Staat die ladder steiler, even steil of minder steil dan de andere twee? Licht je antwoord toe met een berekening.

In driehoek $A B C$ geldt: $A B = B C = 8$ en $A C = 7$ . Verder is $D E = 6$ . De lijnen $A B$ en $D E$ zijn evenwijdig.

Welk deel is $C E$ van $C B$ ? Wat is de verhouding van $C E$ en $E B$ ?

Bereken $E C$ , $E B$ , $A D$ en $C D$ .

$A B C D$ is een rechthoek van 6 bij 12, $A E = 9$ en lijn $E F$ is evenwijdig aan $A D$ .

$S$ is het snijpunt van diagonaal $A C$ en lijn $E F$ .

Bereken $F S$ en $S E$ .

De rechthoek is in vieren gedeeld.

Bereken van elk deel de oppervlakte.

$A B C D$ is een rechthoekig trapezium (hoek $A$ en hoek $D$ zijn recht). Verder is $A B = 6$ , $A D = 3$ en $D C = 4$ . De diagonalen van het trapezium snijden elkaar in $S$ . Door $S$ is een stippellijntje $E F$ loodrecht op $A B$ en $C D$ getekend.

Bereken de verhouding $A S : S C$ en $B S : S D$ .

Bereken $S E$ .

In parallellogram $A B C D$ is $A E = 1,2$ cm en $D E = 2,4$ cm. $A B C D$ is gelijkvormig met $E F G D$ . De oppervlakte van $E F G D$ is 7,82 cm².

Bereken de oppervlakte van $A B C D$ .

Beredeneer dat de trapezia $A B F E$ en $B C G F$ gelijke oppervlakte hebben.
Hoe groot is die oppervlakte?

Een pantograaf is een apparaat waarmee men plaatjes kan vergroten of verkleinen. Er is een centrum; daarmee wordt het apparaat in één punt vastgezet. Met de volgstift ga je nauwkeurig over de lijnen van het plaatje dat je wilt vergroten of verkleinen. En ten slotte is er een tekenstift waarmee de vergroting of verkleining wordt getekend.
De pantograaf is gemaakt van vier strips van een meccanodoos. De strips zijn scharnierend aan elkaar gezet. Twee scharnierpunten zijn middens van strips. (Je kunt een pantograaf dus gemakkelijk zelf maken.) In dit plaatje zit het centrum $C$ links, de volgstift $V$ in het midden en de tekenstift (het potlood) $P$ rechts.

Ga naar de site van de Wageningse Methode en klik op applet De pantograaf. Je kunt altijd de hulp bij de applet raadplegen wanneer je problemen hebt.

Kun je verklaren waarom de pantograaf een vermenigvuldiging uitvoert vanuit $C$ met factor 2?

Van een driehoek en van een rechthoek wordt rondom een overal even brede strook afgeknipt.

Is de kleine driehoek gelijkvormig met de grote? Licht je antwoord toe.

Is de kleine rechthoek gelijkvormig met de grote?

Er zijn twee soorten paperclips die veel gebruikt worden. Die twee soorten zijn gelijkvormig.

De gewone (kleine) paperclip is 30 mm lang en de grote is 50 mm lang.
Als je de kleine paperclip recht buigt, krijg je een draad van 96 mm.

Hoe lang is de draad die je krijgt als je een grote paperclip recht buigt?

Met 18 grote paperclips kun je een deel van een tafel bedekken.

Hoeveel kleine paperclips heb je nodig om een even groot deel van de tafel te bedekken?

De kleine paperclip weegt 0,54 gram. Hoeveel weegt de grote paperclip?

Hier volgen vier beweringen.

Alle bollen zijn gelijkvormig.
Alle kubussen zijn gelijkvormig.
Alle cilinders zijn gelijkvormig.
Alle regelmatige vierzijdige piramides zijn gelijkvormig.

Welke beweringen zijn onwaar? Geef in die gevallen een voorbeeld waaruit dat blijkt.

Schrijf zelf een aantal van dit soort beweringen op die waar zijn.

In de figuur zijn de driehoeken $C D E$ en $C A B$ gelijkvormig.
Bereken $x$ en $y$ .

Bij een vermenigvuldiging is het grote parallellogram de beeldfiguur van het kleine. Er zijn twee punten die daarbij centrum kunnen zijn.
Spoor die twee punten op het werkblad op.

Vermenigvuldig op het werkblad het blok vanuit het midden van een ribbe (zie plaatje) met de factor $‐ 1$ en ook met de factor $\frac{1}{2}$ .

Vermenigvuldig op het werkblad de piramide vanuit het aangegeven hoekpunt met de factor $1 \frac{1}{2}$ .

Hoeveel keer zo groot is de inhoud van de beeldpiramide als de inhoud van het origineel?

De gulden snede

Het Pentagon, het hoofdkwartier van het Amerikaanse leger en de zetel van het ministerie van defensie, is het bekendste voorbeeld van een gebouw waarvan de plattegrond een regelmatige vijfhoek is.
Als je een knoop maakt van een strook papier, deze voorzichtig aantrekt en plat drukt, dan krijg je een regelmatige vijfhoek.

Probeer het maar.

Hoe groot zijn de hoeken van een regelmatige vijfhoek?

Bekijk de regelmatige vijfhoek (pentagon) met zijn diagonalen. Deze figuur heeft veel symmetrie-eigenschappen.

Hoeveel symmetrieassen heeft de regelmatige vijfhoek?

Wat is de orde van draaisymmetrie?

Er is ook sprake van schaalsymmetrie. De diagonalen sluiten in het midden een nieuwe, kleinere, regelmatige vijfhoek in. Als je daarvan de diagonalen zou tekenen, zou je weer een regelmatige vijfhoek krijgen. Enzovoort.
De diagonalen van een regelmatige vijfhoek kun je tekenen zonder je pen van het papier te halen.

Probeer maar.

De diagonalen vormen een ster, het pentagram. Tot heel ver terug in de historie is deze figuur bekend als een symbool met een magische kracht. Er is ook een vorm waarin de ster wordt omsloten door een cirkel, het pentakel.

In deze opgave bekijken we hoe groot de hoeken zijn die in de regelmatige vijfhoek met zijn diagonalen voorkomen.

Ga met berekeningen na dat alle hoeken $36 °$ zijn of een veelvoud daarvan.

Teken een regelmatige vijfhoek met zijn diagonalen en kleur alle hoeken van $36 °$ rood, alle hoeken van $72 °$ groen, alle hoeken van $108 °$ blauw.

In beide plaatjes is een gelijkbenige driehoek dik getekend. De eerste heeft een scherpe tophoek, de ander een stompe.

Ga na hoeveel driehoeken er in het plaatje zijn die daarmee gelijkvormig zijn. (De getekende driehoekjes moet je mee tellen.)

In deze opgave bekijken we welke verhoudingen er in de regelmatige vijfhoek voorkomen.
De hoekpunten van de vijfhoek zijn $A$ , $B$ , $C$ , $D$ en $E$ . Het snijpunt van de diagonalen $A C$ en $B E$ noemen we $F$ .

Kijk nu alleen naar de figuur die bestaat uit driehoek $A B E$ met daarin het lijnstuk $A F$ .

Zet op het werkblad een kruisje in alle hoeken van $36 °$ en een rondje in de hoeken van $72 °$ .

Leg uit dat $A F = B F$ .

Leg uit dat $A B = E A = E F$ .

$F$ verdeelt het lijnstuk $B E$ in twee stukken, een klein ( $B F$ ) en een groot ( $F E$ ).

Leg nu uit met gelijkvormige driehoeken:
$B F : F E = F E : B E$ .

In woorden:
het kleine : het grote = het grote : het hele lijnstuk.

Een lijnstuk dat in twee stukken is verdeeld, zo dat het kleine stuk zich verhoudt tot het grote als het grootste stuk tot het hele lijnstuk, is verdeeld volgens de gulden snede.
Een rechthoek met kortste zijde $b$ en langste zijde $a$ noemt men een gulden rechthoek als de volgende verhouding geldt: $a : b = b : (a - b)$ .

Als een gulden rechthoek verdeeld wordt in een vierkant en een kleinere rechthoek, dan is die kleinere rechthoek ook weer een gulden rechthoek.

De mens van Vitruvius, een tekening uit het schetsboek van Leonardo da Vinci, is vernoemd naar de architect Vitruvius. Op de schets zijn de verhoudingen van de gulden snede te zien: de afstand tussen het hoofd en de navel verhoudt zich tot de afstand van de navel tot de voeten zoals deze zich verhoudt tot de totale lichaamslengte. Voor de renaissance, toen de mens als maat van alle dingen werd opgevat, was deze weergave van een getalsverhouding typerend.
Uit: