15.6 Extra opgaven

Hoofdstukken > Gelijkvormigheid

Nee, het zijn rechthoeken waarvan de hoogte steeds hetzelfde is en de breedte verschillend is.

Ja, het zijn alle regelmatige driehoeken.

Links: niet gelijkvormig,
rechts: wel gelijkvormig

Nee, want de lengtes zijn hetzelfde en de breedtes niet.

Nee, de lengtes zijn hetzelfde en de andere afmetingen niet.

4 keer

$\frac{9}{12} \cdot 4 = 3$ m

Als hij even steil staat, moet hij $\frac{8}{12} \cdot 4 = 2 \frac{2}{3}$ meter van de muur staan. Hij staat (iets) dichterbij, dus staat hij steiler.

$\frac{6}{8}$ deel, dus $E B$ is $\frac{2}{8}$ deel.
De verhouding is dus 3 : 1.

6, 2, 1 $\frac{3}{4}$ , 5 $\frac{1}{4}$

Driehoek $A S E$ is een vergroting van driehoek $F S C$ met factor $3$ .
Dus $F S = \frac{1}{4} \cdot 6 = 1 \frac{1}{2}$ en $S E = \frac{3}{4} \cdot 6 = 4 \frac{1}{2}$ .
Anders:
Noem $S E = x$ , dan $S F = 6 - x$ ; de factor is $3$ , dus $(6 - x) \cdot 3 = x$ $\to$ $18 - 3 x = x$ $\to$ $18 = 4 x$ $\to$ $x = \frac{18}{4} = 4 \frac{1}{2}$ ;
Dus $S E = 4 \frac{1}{2}$ en $S F = 6 - 4 \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{2}$ .

oppervlakte $F S C = \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot 3 = 2 \frac{1}{4}$ ,
oppervlakte $A S E = 9 \cdot 2 \frac{1}{4} = 20 \frac{1}{4}$ ,
oppervlakte $A D C = 16 \cdot 2 \frac{1}{4} = 36$ ,
oppervlakte $A S F D = 36 - 2 \frac{1}{4} = 33 \frac{3}{4}$ en
oppervlakte $E B C S = 72 - 36 - 20 \frac{1}{4} = 15 \frac{3}{4}$ .

Driehoek $A S B$ is een vergroting van driehoek $C S D$ met factor $\frac{A B}{C D} = \frac{3}{2}$ .
De zijden van die driehoeken verhouden zich dan ook als 3 : 2.

Ook $S F : S E = 3 : 2$ , dus $S E = \frac{2}{5} \cdot 3 = 1 \frac{1}{5}$ .

$A B C D$ is een vergroting van $E F G D$ met factor $\frac{A D}{D E} = 1 \frac{1}{2}$ , dus de oppervlakte van $A B C D = {(1 \frac{1}{2})}^{2} \cdot 7,82 = 17,595$ cm².

Een parallellogram wordt door een diagonaal in twee stukken met gelijke oppervlakte verdeeld, dus:
oppervlakte $B A D$ = oppervlakte $D B C$ en
oppervlakte $E F D$ = oppervlakte $F G C$ , dus
oppervlakte $B A D$ $-$ oppervlakte $E F D$ = oppervlakte $D B C$ $-$ oppervlakte $F G C$ .
Die oppervlakte is: $\frac{1}{2} \cdot (17,595 - 7,82) = 4,8875$ cm².

$D B F E$ is een ruit (vier gelijke zijden), dus $D B$ is evenwijdig met $F C$ . Omdat ook nog $F C = 2 \cdot D B$ is $F C$ het beeldlijnstuk van lijnstuk $D B$ bij vermenigvuldiging vanuit $A$ met factor 2, dus is $C$ het beeld van $B$ bij vermenigvuldiging vanuit $A$ met factor 2.

Ja, want ze hebben alle hoeken gelijk.

Nee, in het algemeen niet. Veronderstel dat je met een rechthoek van 3 bij 5 begint en je haalt er aan alle kanten een strook van 1 af, dan houd je een rechthoek van 1 bij 3 over.

$1 \frac{2}{3} \cdot 96 = 160$ mm

${(1 \frac{2}{3})}^{2} \cdot 18 = 50$ paperclips

${(1 \frac{2}{3})}^{3} \cdot 0,54 = 2,5$ gram

3 en 4 zijn onwaar, je kunt bijvoorbeeld het grondvlak gelijk houden en de hoogte veranderen.

Alle regelmatige veelvlakken zijn gelijkvormig. Alle regelmatige veelhoeken zijn gelijkvormig….

$A C = \frac{40}{16} \cdot 10 = 25$ , dus $x = 15$
$B C = \frac{40}{16} \cdot 20 = 50$ , dus $y = 30$

Bij vermenigvuldigen met een positieve factor.

Bij vermenigvuldigen met een negatieve factor.

factor $‐ 1$

factor $\frac{1}{2}$

$(1 \frac{1}{2})$ ³ $= 3 \frac{3}{8}$

De gulden snede

$3 \cdot 180 : 5 = 108 °$

De blauwe driehoeken zijn gelijkbenig, hun tophoek is $(5 - 2) \cdot 180 : 5 = 108 °$ , de basishoeken zijn dus $\frac{1}{2} (180 - 108) = 36 °$ .
De tophoek van de witte driehoek is $108 - 2 \cdot 36 = 36 °$ en de basishoeken $\frac{1}{2} (180 - 36) = 72 °$ , enzovoort.

Met de scherphoekige 20 en met de stomphoekige 15.

Driehoek $A B F$ heeft twee gelijke hoeken.

Driehoek $A B E$ heeft twee gelijke hoeken, dus $A B = A E$ .
Driehoek $A F E$ heeft twee gelijke hoeken, dus $A E = F E$ .

De driehoeken $A B F$ en $A B E$ zijn gelijkvormig.

$\frac{B F}{A E} = \frac{A B}{B E}$ is de verkleiningsfactor. In deze verhouding mag je $A E$ en $A B$ vervangen door $F E$ volgens vraag c.