Het gebruik van haakjes

Anne en Vinja zijn hun huiswerk aan het maken. Op een gegeven moment vraagt Anne: "Twee keer drie plus vijf kwadraat, dat is toch honderdeenentwintig?" "Welnee" , antwoordt Vinja, "volgens mij komt daar honderdachtentwintig uit" . Beiden hebben geen rekenfouten gemaakt; ze hebben alleen de haakjes verschillend geplaatst. Anne rekent als volgt: ${(2 \cdot 3 + 5)}^{2} = {(6 + 5)}^{2} = 11^{2} = 121$ .

Hoe heeft Vinja gerekend?

Bij de rekensom "twee keer drie plus vijf in het kwadraat" kun je op nog drie andere manieren rekenen.

Probeer die drie manieren te vinden.

Zoek alle mogelijke antwoorden bij "twee min drie maal vijf plus zeven" .

In eerdere hoofdstukken is het gebruik van haakjes in rekensommen aan de orde geweest. Soms kun je haakjes weglaten zonder dat de som verandert, soms niet. In de paragraaf Volgorde van hoofdstuk 1 kwam o.a. de volgende opgave voor. Maak die opgave nog eens.

Iemand heeft een getal in gedachten genomen. Dat getal noemen we $a$ . Je weet niet welk getal $a$ is; $a$ is een variabele.

Je moet bij $a$ de getallen 4 en 2 optellen. Dat kan

met haakjes:	$a + (4 + 2)$
en zonder haakjes:	$a + 4 + 2$ .

Maakt het iets uit of er haakjes staan?

Je moet van $a$ de getallen 4 en 2 aftrekken. Dat kan

met haakjes:	$a - (4 - 2)$
en zonder haakjes:	$a - 4 - 2$ .

Maakt het iets uit of er haakjes staan?

Je moet $a$ met de getallen 4 en 2 vermenigvuldigen. Dat kan

met haakjes:	$a \cdot (4 \cdot 2)$
en zonder haakjes:	$a \cdot 4 \cdot 2$ .

Maakt het iets uit of er haakjes staan?

Je moet $a$ door de getallen 4 en 2 delen. Dat kan

met haakjes:	$a : (4 : 2)$
en zonder haakjes:	$a : 4 : 2$ .

Maakt het iets uit of er haakjes staan?

Met de getallen 2, 3 en 4 kun je, door optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken, veel getallen maken. Bijvoorbeeld: ${(2 + \sqrt{4})}^{3}$ .

Maak op deze manier, door 2, 3 en 4 elk precies één keer te gebruiken, de getallen 1 tot en met 10. Je mag ook haakjes gebruiken. Sommige zijn erg lastig; geef het niet te snel op.

Misschien vind je het wel leuk om de getallen 11, 12, 13, ... zo te maken. Ze lukken natuurlijk niet allemaal.

Kun je op deze manier ook getallen maken die groter zijn dan 1000?

Soms kun je haakjes weglaten zonder dat de som verandert, soms niet. Met getallenvoorbeelden kun je achterhalen wanneer dat wel kan en wanneer niet.

Welke gelijkheden zijn juist?

$a + (b + c) = a + b + c$	$a + (b - c) = a + b - c$
$a - (b + c) = a - b + c$	$a - (b - c) = a - b - c$

Welke gelijkheden zijn juist?

$a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c$	$a \cdot (b : c) = a \cdot b : c$
$a : (b \cdot c) = a : b \cdot c$	$a : (b : c) = a : b : c$

Welke gelijkheden zijn juist?

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + c$	$a \cdot (b - c) = a \cdot b - c$
$a : (b + c) = a : b + c$	$a : (b - c) = a : b - c$

In eerdere hoofdstukken heb je de volgorde van bewerkingen geleerd. Hieronder staan ze nog eens.

Eerst wat tussen de haakjes staat uitrekenen.
Machtsverheffen (waaronder worteltrekken en kwadrateren) gaat voor vermenigvuldigen en delen.
Vermenigvuldigen en delen gaan voor optellen en aftrekken.

Met behulp van deze regels kun je de juiste uitkomst van lange berekeningen vinden. Als voorbeeld nemen we de volgende berekening: $1 - 2 \cdot (3 - 4) + 5 : (6 + (7 - 8)) - \sqrt{9} + 10$

We schrijven hieronder op hoe we de berekening uitvoeren.
$\begin{matrix} 1 & - & 2 \cdot (3 - 4) & + & 5 : (6 + (7 - 8)) & - & \sqrt{9} & + & 10 \end{matrix}$

Trek de wortel en werk de binnenste haakjes weg, je krijgt dan:

$\begin{matrix} 1 & - & 2 \cdot ‐1 & + & 5 : (6 + ‐1) & - & 3 & + & 10 \end{matrix}$

Werk weer haakjes weg, je krijgt:

$\begin{matrix} 1 & - & ‐2 & + & 5 : 5 & - & 3 & + & 10 \end{matrix}$

Delen gaat voor, dus je krijgt:

$\begin{matrix} 1 & - & ‐2 & + & 1 & - & 3 & + & 10 = 11 \end{matrix}$

Maak zo ook de volgende rekensommen.

$3 \cdot 5 + 20 : (2 - 6) - 3 \cdot (7 - 4) - (6 + (3 - 7))$

$3 (4 + 5) + {(6 - 9)}^{2}$

$(1 + 2 \cdot 3^{4} - 5 \cdot 6) : 7$

Daan, Sem en Thomas hebben samen 30 knikkers. Sem geeft 5 knikkers aan Thomas. Thomas geeft er 4 aan Daan en Daan geeft er 2 aan Sem. Nu hebben ze alledrie evenveel knikkers. Hoeveel knikkers had Daan eerst?

De distributiewetten

In uitdrukkingen waarin variabelen voorkomen, kun je niet altijd uitrekenen wat er tussen de haakjes staat. Toch kun je uitdrukkingen met variabelen waar haakjes in voorkomen ook zonder haakjes schrijven. Daarvoor gebruik je de distributiewetten.

De distributiewet gaat over het vermenigvuldigen van de som van twee getallen met een ander getal. Stel dat je de som $a + b$ moet vermenigvuldigen met 10. Dan kun je net zo goed $a$ en $b$ apart vermenigvuldigen met 10 en de twee uitkomsten optellen.

Dus 10 maal $a + b$ is gelijk aan 10 maal $a$ plus 10 maal $b$ . In formulevorm:
$10 (a + b) = 10 a + 10 b$
Evenzo:
$10 (a - b) = 10 a - 10 b$

Schrijf zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk:
$3 (x + 5)$
$3 (x + 5) + 5 (x - 3)$
$‐2 (x + 1) + 4 (x + 3)$

${(5 x)}^{2}$
$3 {(5 x)}^{2}$
${(3 \cdot 5 x)}^{2}$

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x - \frac{3}{4})$
$‐ \frac{1}{2} (\frac{2}{3} x - \frac{3}{4})$
$‐ \frac{1}{2} (‐ \frac{2}{3} x - \frac{3}{4})$

Als in een rekensom alleen optellingen voorkomen of alleen vermenigvuldigingen, heb je niets met de distributiewetten te maken. De distributiewetten spelen alleen een rol als je eerst twee termen moet optellen/aftrekken en de uitkomst vervolgens moet vermenigvuldigen met een getal.

Bereken:

$4 + (3 + 2)$	$4 + (3 - 2)$
$4 + (3 \cdot 2)$	$4 + (3 : 2)$
$4 \cdot (3 + 2)$	$4 \cdot (3 - 2)$
$4 \cdot (3 \cdot 2)$	$4 \cdot (3 : 2)$

Bij welke van deze acht rekensommen speelt één van de distributiewetten een rol?

$2 ... 2 ... 2 ... 2 ... 2$
De tekens $+$ , $-$ , $\cdot$ en $:$ moeten over de stippellijnen verdeeld worden, elk teken op één stippellijn. In de rekensom die je dan hebt mag je haakjes plaatsen, zo veel je maar wilt.

Wat is de grootste uitkomst die je zo kunt maken?

Wat is de kleinste uitkomst die je zo kunt maken?