Uitleg met plaatjes

Gegeven zijn drie even brede stroken van lengte $A$ , $B$ en $C$ . Daaronder staat een strook van lengte $A + B + C$ .

Teken zo ook stroken van lengte:
$A + B - C$ ,
$A - B + C$ ,
$A - B - C$ ,
$A + (B + C)$ ,
$A + (B - C)$ ,
$A - (B + C)$ en
$A - (B - C)$

Welke van de bovenstaande stroken zijn gelijk?

Anne heeft 100 euro. Ze koopt twee boeken; die kosten $a$ en $b$ euro.

Welk bedrag heeft Anne nog na aankoop van de boeken? Schrijf je antwoord op twee manieren op: met haakjes en zonder haakjes.

Welke gelijkheid vind je?

Egon heeft 100 euro. Hij koopt een boek. Hij geeft $b$ euro aan de verkoper en krijgt $c$ euro terug.

Welk bedrag heeft Egon na aankoop van het boek? Schrijf je antwoord op twee manieren op.

Welke gelijkheid vind je?

Vanmiddag om 12 uur was het 24°C. Tussen 12 en 15 uur koelde het tijdens een fikse onweersbui $a$ °C af, maar tussen 15 en 18 uur ging de zon weer schijnen en steeg de temperatuur met $b$ °C.

Wat was de temperatuur om 18 uur? Schrijf je antwoord op twee manieren op.

Welke gelijkheid vind je?

Van het getal 100 trekken we $10 + a$ af. Wat is de uitkomst? Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Van het getal 100 trekken we $10 - a$ af. Wat is de uitkomst? Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Trek de volgende getallen van 100 af: 1, 37, 100, 105, $‐1$ , $‐37$ , $‐100$ , $‐105$ , $x$ , $‐ x$ .

Teken een getallenlijn met daarop de getallen 0, 100, $x$ en $y$ , ongeveer zoals aangegeven.

Geef op de getallenlijn aan: $100 - x$ en $100 - y$ .

Neem een getal. Trek het van 100 af. Trek de uitkomst van 100 af. Doe dat voor een paar getallen. Wat valt je op?

Geef wat je in onderdeel c ontdekt hebt weer in een gelijkheid.

In de laatste opgaven heb je de volgende regels gezien.

$a - (b + c) = a - b - c$
In woorden: van $a$ de som $b + c$ aftrekken komt op hetzelfde neer als eerst het getal $b$ van $a$ aftrekken en vervolgens van de uitkomst het getal $c$ aftrekken.
$a - (b - c) = a - b + c$
In woorden: van $a$ het verschil $b - c$ aftrekken komt op hetzelfde neer als eerst het getal $b$ van $a$ aftrekken en vervolgens bij de uitkomst het getal $c$ optellen.

Dolf heeft 100 euro. Hij koopt vier cd's; die kosten $a$ , $b$ , $c$ en $d$ euro.

Welk bedrag heeft Dolf nog na aankoop van de cd's? Schrijf je antwoord op twee manieren op.

Welke gelijkheid vind je?

Schrijf zonder haakjes:
$a - (x + y + z + u)$
$a - (x - y + z - u)$

Hieronder staat hoe je stap voor stap $8500 - 1007$ kunt uitrekenen:
$8500 - 1007 = 8500 - (1000 + 7) = 8500 - 1000 - 7 = 7500 - 7 = 7493$

Maak zo ook de onderstaande berekeningen. Schrijf tussenstappen op.
$8500 - 1003$
$8500 - 1010$
$8500 - (1000 + x)$

Bereken; schrijf ook tussenstappen op:
$8500 - 999 = 8500 - (1000 - 1) = ...$
$8500 - 997$
$8500 - 990$
$8500 - (1000 - x)$

In een magisch vierkant zijn de drie rijsommen, de drie kolomsommen en de twee diagonaalsommen aan elkaar gelijk: dat getal is de magische som. Van het hier afgebeelde $3 \times 3$ -magisch vierkant zijn drie getallen ingevuld.

Welk getal moet er op de plaats van het vraagteken staan?

(hint)

Tip: Noem de magische som $s$ .

Joris en Corien zijn aan het knikkeren. Samen hebben ze 54 knikkers. Als ze beginnen heeft Joris er $x$ .

Hoeveel heeft Corien er dan?

Joris heeft pech: hij verliest $y$ knikkers aan Corien.

Hoeveel knikkers heeft Joris nu?

Druk het aantal knikkers dat Corien nu heeft op twee manieren uit in $x$ en $y$ : met haakjes en zonder haakjes.

Welke gelijkheid heb je gevonden voor de getallen $x$ en $y$ ?

Anne vraagt zich af of de volgende gelijkheid ook klopt voor negatieve getallen $x$ :
$8500 - (1000 - x) = 7500 + x$

Neem eens $x = ‐3$ en kijk of de gelijkheid klopt.

Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

$3 a + (a + 2)$	$20 - (x + 1)$
$‐ 3 a - (a - 2)$	$2 x - (x - 1)$
$3 a + (- a + 2)$	$2 x - (3 x - 5)$
$‐ 3 a + (- a - 2)$	$3 x - (3 x - 5)$

10s

11s

Twee vierkanten van 9 bij 9 cm worden voor een deel over elkaar heengeschoven. Daardoor vormen ze samen een rechthoek van 9 bij 13.

Wat is de oppervlakte van het stuk dat de vierkanten over elkaar liggen?

Twee vierkanten van $x$ bij $x$ cm worden voor een deel over elkaar heengeschoven. Daardoor vormen ze samen een rechthoek van $x$ bij $y$ .

Wat is de oppervlakte van het stuk dat de vierkanten over elkaar liggen?

We zetten de vier gelijkheden uit deze paragraaf nog even op een rij. Merk op dat de haakjes in $a + (b + c)$ en $a + (b - c)$ weggelaten mogen worden.

Voor alle getallen $a$ , $b$ en $c$ geldt:
$a + (b + c) = a + b + c$
$a + (b - c) = a + b - c$
$a - (b + c) = a - b - c$
$a - (b - c) = a - b + c$

Bij een vergelijking als $\frac{1}{2} (x - 7) = 2 x - (\frac{1}{4} x + 1)$ komen alle moeilijkheden bij elkaar die tot nu toe aan de orde zijn geweest. Zo'n vergelijking kun je goed oplossen volgens het schema hieronder.

$\frac{1}{2} (x - 7) = 2 x - (\frac{1}{4} x + 1)$	haakjes weg
$\frac{1}{2} x - 3 \frac{1}{2} = 2 x - \frac{1}{4} x - 1$	maal 4
$2 x - 14 = 8 x - x - 4$	vereenvoudigen
$2 x - 14 = 7 x - 4$	min $2 x$
$‐14 = 5 x - 4$	plus 4
$‐10 = 5 x$	delen door 5
$‐2 = x$

Nu controleer je de gevonden uitkomst $‐ 2$ door voor $x$ het getal $‐ 2$ in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen.
$\frac{1}{2} (‐2 - 7) = \frac{1}{2} \cdot ‐9 = ‐4 \frac{1}{2}$
$2 \cdot ‐2 - (\frac{1}{4} \cdot ‐2 + 1) = ‐4 - (‐ \frac{1}{2} + 1) = ‐4 - \frac{1}{2} = ‐4 \frac{1}{2}$
Conclusie: als $x = ‐2$ , dan is het linkerlid gelijk aan het rechterlid.

Los op: $3 (x - 5) = 2 (x - 7)$ .

Los op: $3 x - 5 = 2 x - (x - 1)$ .

12s

13s

In de cirkels op de hoekpunten van het vierkant staan getallen. Er wordt een zijde gekozen; de getallen op de uiteinden van die zijde worden evenveel verhoogd of verlaagd. Dit herhalen we een aantal keren.

Welk van de volgende figuren kun je niet krijgen?

Driehekkenproblemen

Een schapenboer heeft twee weilanden. Regelmatig verplaatst hij zijn schapen van de ene naar de andere wei, omdat dat beter is voor het gras. Elke avond gaan de schapen op stal. De twee paden naar de weilanden en het pad naar de stal komen samen op een driehoekig kruispunt. Om te voorkomen dat zijn schapen de verkeerde kant op lopen, heeft hij daar drie hekken geplaatst. De breedtes van die hekken zijn zo gekozen, dat hij steeds met twee van de drie hekken één pad kan afsluiten.

Neem aan dat de paden 2,40 meter, 2,00 meter en 1,60 meter breed zijn.

Probeer eens uit te zoeken hoe breed elk van de drie hekken is.

Misschien heb je de oplossing van het hekkenprobleem gevonden. In deze opgave geven we een methode die goed en snel werkt.
De drie hekken geven we even aan met de letters A, B en C. We hebben nu drie gegevens:

de breedtes van A en B samen zijn 2,40 meter,
de breedtes van B en C samen zijn 1,60 meter,
de breedtes van A en C samen zijn 2,00 meter.

De breedte van A noemen we $x$ .

Met behulp van het eerste gegeven kunnen we als volgt de breedte van hek B uitdrukken in $x$ :

breedte B $= 2,40 - x$ .

We gebruiken het tweede gegeven om de breedte van C uit te drukken in $x$ .

Neem over en vul in:
breedte C $= ... - (........)$ .
Schrijf je antwoord ook zonder haakjes.

Gebruik het derde gegeven om een vergelijking op te stellen voor $x$ .

Bereken $x$ .

Hoe breed is elk van de hekken?

Pas de methode van de vorige opgave toe in het geval de paden 4,70 meter, 4,20 meter en 3,30 meter breed zijn.

Bij de slijterij kun je kistjes kopen met twee flessen drank erin. Leuk om iemand cadeau te doen. Je kunt kiezen uit drie combinaties:

1 fles wijn en 1 fles sherry: zo'n kistje kost 12 euro,
1 fles sherry en 1 fles cognac: zo'n kistje kost 17 euro,
1 fles cognac en 1 fles wijn: zo'n kistje kost 20 euro.

Hierbij is de slijter uitgegaan van een zekere prijs voor de fles wijn, voor de fles sherry en voor de fles cognac. Noem de prijs van een fles wijn: $x$ (euro).

Druk de prijs van een fles sherry uit in $x$ .
Druk ook de prijs van een fles cognac uit in $x$ .

Bereken de prijs van een fles wijn, de prijs van een fles sherry en de prijs van een fles cognac.

16s

18s

Een aantal leerlingen heeft geprobeerd een moeilijke Kangoeroe-opgave op te lossen. Na afloop bleek dat het aantal jongens dat de opgave had opgelost gelijk was aan het aantal meisjes dat de opgave niet had opgelost.
Het aantal meisjes is ... het aantal leerlingen dat de opgave had opgelost. Wat staat er op ...?

half zo groot als
even groot als
anderhalf keer zo groot als
twee keer zo groot als
drie keer zo groot als

17s

19s

Anne heeft vijftien rozen en negen fresia's gekocht. Ze verdeelt de bloemen over twee vazen; in elke vaas doet ze twaalf bloemen. Hoe zij de bloemen ook over de vazen verdeelt, het aantal rozen in de ene vaas is altijd drie meer dan het aantal fresia's in de andere vaas. Het aantal rozen in de eerste vaas noemen we $x$ .
Laat zien dat het aantal fresia's in de tweede vaas inderdaad drie minder is dan het aantal rozen in de eerste vaas.