16.4  Tegengestelde >
Opgeteld 0
1

Joris en Corien gaan weer knikkeren. Op een gegeven moment heeft Corien 27 knikkers gewonnen. De winst van Joris is dan negatief: ‐27 . Joris en Corien spelen hierna nog drie potjes.

a

Corien verliest a knikkers. Wat is dan de totale winst van Corien? En van Joris?

b

Vervolgens wint Corien b knikkers. Wat is dan de totale winst van Corien? En van Joris?

c

Ten slotte verliest Corien 5 knikkers. Wat is dan de totale winst van Corien? En van Joris?

De winst van Corien en de winst van Joris zijn steeds elkaars tegengestelde. Het tegengestelde van 27 a kun je op twee manieren opschrijven:

  • met haakjes: ( 27 a ) ,

  • zonder haakjes: ‐27 + a .

2

In hoofdstuk 9 - Getallenlijn heb je geleerd: "als je bij een getal z'n tegengestelde optelt, is de uitkomst 0."

Ga na of dat klopt voor 27 a en ‐27 + a .

  • Het tegengestelde van a noteren we als a .

  • Als twee getallen elkaars tegengestelde zijn, liggen ze symmetrisch om 0 op de getallenlijn.

  • Als twee getallen elkaars tegengestelde zijn, dan is hun som gelijk aan nul.

Voorbeeld:

Het tegengestelde van 17 is ‐17 .
Het tegengestelde van ‐2,5 is 2,5.
Het tegengestelde van a 3 is 3 a .

3
4
a

Leg uit dat a 3 en 3 a inderdaad elkaars tegengestelde zijn.

b

Geef het tegengestelde van 104, van ‐0,78 , van 0 en van 1 2 .

3s
4s

Het tegengestelde van een getal ligt tussen ‐2 en 3.

a

Tussen welke twee getallen ligt dat getal?

Een getal en zijn tegengestelde verschillen 1.

b

Welk getal is dit?

c

Wat is het quotiënt van een getal (niet 0) en zijn tegengestelde? (Het quotiënt is de uitkomst bij een deling.)

Voorbeeld:

Het tegengestelde van x noteren we met x .
Het tegengestelde van 2 x noteren we met 2 x .
Het tegengestelde van x + y noteren we met ( x + y ) .
Het tegengestelde van 3 x 2 p + 5 noteren we met ( 3 x 2 p + 5 ) .

5
a

Hoe noteer je het tegengestelde van x 2 ?
Hoe noteer je het tegengestelde van a b + c d ?
Hoe noteer je het tegenstelde van ( a + 3 n ) ?

( a x 2 7 ) is het tegengestelde van a x 2 7 . Ook is a + x 2 + 7 het tegengestelde van a x 2 7 . Want als je a + x 2 + 7 en a x 2 7 optelt, komt er 0 uit. Dus ( a x 2 7 ) = a + x 2 + 7 .

b

Schrijf zo ook zonder haakjes:
( 5 + z p )
( 1 a y )
2 ( x + 1 )

2 ( x + 1 ) kun je op twee manieren lezen:

  • als het tegengestelde van 2 ( x + 1 )

  • als ‐2 maal ( x + 1 ) .


Welk van de twee manieren je kiest maakt niet uit.

6

x 2 moet je lezen als het tegengestelde van x 2 .
Dat is iets anders dan ( x ) 2 .
Wat is het verschil?

Voor alle getallen a en b geldt:
( a + b ) = a + b

In woorden: het tegengestelde van een som is de som van de tegengestelden.

Opmerking:

In plaats van a + b schrijven we liever (korter): a b .

7
8

Schrijf zo ook zonder haakjes:
( a b )
( a + b )
( a b )

7s
8s

Is het tegengestelde van een product van twee getallen gelijk aan het product van de tegengestelden van die twee getallen? (Het product van twee getallen is de uitkomst van de vermenigvuldiging van die getallen.)

Een getal aftrekken is hetzelfde als het tegengestelde van dat getal optellen.

Voorbeeld:

100 13 = 100 + 13 = 87
100 ( a + 3 ) = 100 + ( a 3 ) = 100 + a 3 = 97 a
100 ( a 3 ) = 100 + ( a + 3 ) = 100 + a + 3 = 103 a

Als de opgaven ingewikkeld worden, kan de bovenstaande regel uitkomst bieden.

9

Maak van de volgende aftrekkingen optellingen en vereenvoudig het antwoord.
3 ( x 4 )
5 + x ( 3 x + 4 )
2 x + 5 ( 3 x + 6 )
3 x 4 ( 5 2 x )
2 3 x ( 2 3 x )
6 x ( 4 x 6 )

Het vereenvoudigen van
2 ( x 7 ) + ( 4 x 3 ) 3 ( x 5 ) is lastiger. Kijk goed hoe dit werkt.

2 ( x 7 ) + ( 4 x 3 ) 3 ( x 5 )

aftrekken is het tegengestelde erbij optellen

2 ( x 7 ) + ( 4 x 3 ) + ‐3 ( x 5 )

haakjes wegwerken

2 x 14 + 4 x 3 + ‐3 x + 15

vereenvoudigen

3 x 2

10
12

Vereenvoudig op deze manier:

a

3 ( x 3 ) + 4 x 7 2 ( 3 x )

b

8 ( ‐2 x + 4 ) + ‐2 ( x 7 )

c

2 x 3 ( x 2 y ) + ( ‐2 x 2 y )

d

2 x y ( x 2 y ) ( ‐2 x 2 y )

11

Los op:

a

x + 2 2 ( 2 x + 4 ) = 6

b

‐2 ( 2 x + 3 ) 5 ( 6 x 7 ) = 94 8 x

10s
12s

Vaak worden tegengestelde en omgekeerde verward.
Het tegengestelde van 2 is ‐2 .
Het omgekeerde van 2 is 1 2 .
De som van twee getallen die elkaars tegengestelde zijn is 0.

a

Formuleer een soortgelijke uitspraak over twee getallen die elkaars omgekeerde zijn.

b

Wat weet je van het tegengestelde van het tegengestelde van een getal.
Wat weet je van het omgekeerde van het omgekeerde van een getal?

c

Wat is het verschil tussen het omgekeerde van het tegengestelde van een getal en het tegengestelde van het omgekeerde van dat getal?

Het tegengestelde van een som is de som van de tegengestelden.

d

Formuleer een soortgelijke uitspraak over het omgekeerde.