16.5 Producten van tweetermen >

Hoofdstukken > Haakjes

Terrassen uitbreiden

$2 n + 1$

Manier 1: $n^{2} + (2 n + 1) = n^{2} + 2 n + 1$

Manier 2: $(n + 1) (n + 1) = {(n + 1)}^{2}$

${(n + 1)}^{2} = n^{2} + 2 n + 1$

$101^{2} = {(100 + 1)}^{2} = 100^{2} + 2 \cdot 100 + 1 = 10201$

$n^{2}$ , $5 n$ , $5 n$ , 25

$n + 5$ bij $n + 5$

${(n + 5)}^{2} = n^{2} + 10 n + 25$

$n^{2}$ , $3 n$ , $4 n$ , 12

$(n + 3) (n + 4) = n^{2} + 7 n + 12$

Zie figuur.

$(n + 2) (n + 5) = n^{2} + 7 n + 10$

$(n + 2) (n + 4) = n^{2} + 6 n + 8$

Er komen aan de boven rand $n + 1$ verticale lucifers bij en $n$ horizontale. Er komen aan de rechter rand $n + 1$ horizontale lucifers bij en $n$ verticale. En nog twee lucifers in de hoek (rechtsboven).
Dus totaal: $4 n + 4$ lucifers erbij.

Producten van tweetermen

$7 a + 10 b + a b$

$(a + 3) (x + 5) = a x + 3 x + 5 a + 15$

$(p + 7) (q + 5) = p q + 7 q + 5 p + 35$

$300 + 100 q + 3 p + p q$

$(‐1 + 5) (‐7 + 3) = 4 \cdot ‐4 = ‐16$
$‐1 \cdot ‐7 + ‐1 \cdot 3 + 5 \cdot ‐7 + 5 \cdot 3 = 7 - 3 - 35 + 15 = ‐16$

Pas de distributie wet nog twee keer toe: $(a + b) c = a c + b c$ en $(a + b) d = a d + b d$ . Alles opgeteld is dat $a c + b c + a d + b d$ .

Teken een rechthoek van $a + b$ bij $c + d$ . Verdeel hem in vier stukken en schrijf de oppervlakte op twee manieren op.

$600 + 210 + 80 + 28 = 918$

$80 \cdot 30 + 80 \cdot 9 + 1 \cdot 30 + 1 \cdot 9 =$
$2400 + 720 + 30 + 9 = 3159$

10s

Zie figuur.

$(a + b + c) (d + e + f) = a d + a e + a f + b d + b e + b f + c d + c e + c f$
Een negenterm

11s

Zie figuur.

$(a + b) (c + d) (e + f) = a c e + a c f + a d e + a d f + b c e + b c f + b d e + b d f$
Een achtterm

Oefenen

$x^{2} - 10 x + 21$	$x^{2} - 4 x - 21$
$x^{2} + 7 x - 8$	$x^{2} - 7 x - 8$
$x^{2} - 16$	$x^{2} - 8 x + 16$
$x^{2} + 1 \frac{1}{2} x - 1$	$x^{2} + x + \frac{1}{4}$

$2 x^{2} - 17 x + 21$	$2 x^{2} - 11 x - 21$
$6 x^{2} + 22 x - 8$	$6 x^{2} - 22 x - 8$
$x^{2} - 6 x - 16$	$4 x^{2} - 16 x + 16$
$2 x^{2} + 3 x - 2$	$2 x^{2} + 2 x + \frac{1}{2}$

$p^{2} + 4 p q + 4 q^{2}$	$p^{2} - 4 p q + 4 q^{2}$
$25 p^{2} + 20 p q + 4 q^{2}$	$25 p^{2} - 20 p q + 4 q^{2}$
$25 p^{2} - 20 p q + 4 q^{2}$	$25 p^{2} + 20 p q + 4 q^{2}$
$‐25 p^{2} + 4 q^{2}$	$‐25 p^{2} + 20 p q - 4 q^{2}$

$x^{2} - 16 = x^{2} - 4 x + 4$
$‐16 = ‐4 x + 4$
$‐20 = ‐4 x$
$x = 5$

controle:
$(5 + 4) (5 - 4) = 9 \cdot 1 = 9$
${(5 - 2)}^{2} = 3^{2} = 9$

$2 x^{2} - (x^{2} + 2 x + 1) = x^{2} - 4 x + 4$
$x^{2} - 2 x - 1 = x^{2} - 4 x + 4$
$‐2 x - 1 = ‐4 x + 4$
$2 x = 5$
$x = 2 \frac{1}{2}$

controle:
$2 \cdot {(2 \frac{1}{2})}^{2} - {(2 \frac{1}{2} + 1)}^{2} = 2 \cdot 6 \frac{1}{4} - {(3 \frac{1}{2})}^{2}$
$12 \frac{1}{2} - 12 \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
${(2 \frac{1}{2} - 2)}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$

$4 (x^{2} - 2 x - 3) = 4 x^{2}$
$4 x^{2} - 8 x - 12 = 4 x^{2}$
$‐8 x - 12 = 0$
$‐8 x = 12$
$x = ‐ 1 \frac{1}{2}$

controle:
$4 (‐1 \frac{1}{2} + 1) (‐1 \frac{1}{2} - 3) = 4 \cdot ‐ \frac{1}{2} \cdot ‐4 \frac{1}{2} = 9$
$(2 \cdot ‐ 1 \frac{1}{2}) = {(‐ 3)}^{2} = 9$

$x^{2} + 5 x = x^{2} + 6 x + 5$
$5 x = 6 x + 5$
$‐ x = 5$
$x = ‐5$

controle:
$‐5 (‐5 + 5) = ‐5 \cdot 0 = 0$
$(‐5 + 1) (‐5 + 5) = ‐4 \cdot 0 = 0$

$(x + 2) (x + 3)$	$(x - 2) (x - 3)$
$(x + 1) (x + 6)$	$(x - 1) (x - 6)$
$(x + 3) (x - 2)$	$(x - 3) (x + 2)$
$(x + 6) (x - 1)$	$(x - 6) (x + 1)$

${(2 a + b)}^{2}$	${(2 a - b)}^{2}$
$(4 a + b) (a + b)$	$(4 a - b) (a - b)$
$(2 a + 5 b) (a + b)$	$(2 a - 5 b) (a - b)$
$(2 a + b) (a + 5 b)$	$(2 a - b) (a - 5 b)$

Toepassingen

$x^{2}$

$x + 5$ , $x - 4$

$x^{2} = (x + 5) (x - 4)$

$x^{2} = x^{2} + x - 20$
$x^{2} = x^{2} + x - 20$
$0 = x - 20$
$20 = x$

controle:
$x^{2} = 400$
$(20 + 5) (20 - 4) = 25 \cdot 16 = 400$

400 plaatsen

42 ; 930

$64^{2} - (2 \cdot 64 - 62) = 4096 - 190 = 3906$
$62 \cdot 63 = 3906$

$n^{2} - (3 n - 2)$ ; $(n - 2) (n - 1)$

$n^{2} - (3 n - 2) = (n - 2) (n - 1)$

$n^{2} - (3 n - 2) = n^{2} - 3 n + 2$
$(n - 2) (n - 1) = n^{2} - 3 n + 2$

10 personen extra mee:
korting per persoon is $10 \cdot 0,05 = 0,5$ euro.
De bus kost $40 \cdot 5,50 = 220$ euro.

$6 - 5 \cdot 0,05 = 5,75$ euro ; $35 \cdot 5,75 = 201,25$ euro
$6 - 17 \cdot 0,05 = 5,15$ euro ; $47 \cdot 5,15 = 242,05$ euro

prijs per persoon is $6 - 0,05 n$ , dus $(30 + n) (6 - 0,05 n) = 180 + 4,5 n - 0,05 n^{2}$

Dan $n = 20$ .
$50 \cdot 5 = 250$ euro of $180 + 90 - 20 = 250$ euro

$x - 10$ bij $x + 12$ meter

$x^{2}$ ; $(x - 10) (x + 12)$

$x^{2} = (x - 10) (x + 12)$

$x^{2} = x^{2} + 2 x - 120$
$0 = 2 x - 120$
$120 = 2 x$
$60 = x$

De vierkante akker is 60 bij 60 meter.
De rechthoekige akker is 50 bij 72 meter.
De oppervlakte van beide akkers is 3600 m².

18s

19s

$2 x - 3$ bij $x - 2$

$2 x - 5$ bij $x - 1$

$(2 x - 3) (x - 2) = 2 x^{2} - 7 x + 6$

$(2 x - 5) (x - 1) = 2 x^{2} - 7 x + 5$

Hoogakker; 1 m² meer.