16.6 Merkwaardige producten >

Hoofdstukken > Haakjes

${(a + b)}^{2} = a^{2} + a b + b a + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
${(a - b)}^{2} = a^{2} - a b - b a + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a^{2} - a b + b a + b^{2} = a^{2} - b^{2}$

${(a + b)}^{2}$ is de oppervlakte van het hele vierkant.
$a^{2}$ , $a b$ , $b a$ en $b^{2}$ zijn de oppervlaktes van de vier stukken.

$9 x^{2} + 6 x + 1$
$9 x^{2} - 6 x + 1$
$9 x^{2} - 1$

$x^{2} + 2 x + 1 + (x^{2} - 2 x + 1) = 2 x^{2} + 2$
$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} - 2 x + 1) = 4 x$
${(x^{2} - 1)}^{2} = {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 1 = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Dan moet $2 a b = 0$ , dus dat is alleen het geval als $a = 0$ of $b = 0$ .

${(a - b)}^{2}$ is de oppervlakte van het vierkant linksonder.
Dat is het hele vierkant (opp. $a^{2}$ ), min de strook rechts (opp. $a b$ ) en min de strook boven (opp. $b a$ ); maar dan heb je het vierkantje rechtsboven (opp. $b^{2}$ ) er twee keer vanaf getrokken. Om dat goed te maken moet $b^{2}$ er weer bij geteld worden.

De L-vorm is het verschil van twee vierkanten, namelijk $a^{2}$ en $b^{2}$ , en heeft dus oppervlakte $a^{2} - b^{2}$ .
De rechthoek meet $a + b$ bij $a - b$ , en heeft dus oppervlakte $(a + b) (a - b)$ .

$2 \frac{1}{4}$ , $6 \frac{1}{4}$ , $12 \frac{1}{4}$ , $20 \frac{1}{4}$ , $30 \frac{1}{4}$

12 is het product van 3 en 1-meer-dan-3

$n (n + 1) + \frac{1}{4}$

${(n + \frac{1}{2})}^{2} = n^{2} + n + \frac{1}{4}$
$n (n + 1) + \frac{1}{4} = n^{2} + n + \frac{1}{4}$

Dat is $10 \cdot 11 + \frac{1}{4} = 110 \frac{1}{4}$ .

$(n - 1) (n + 1) - (n - 2) (n + 2) = n^{2} - 1 - (n^{2} - 4) =$
$n^{2} - 1 - n^{2} + 4 = 3$

$n^{2} + {(n + 2)}^{2} - 2 {(n + 1)}^{2} =$
$n^{2} + (n^{2} + 4 n + 4) - 2 (n^{2} + 2 n + 1) =$
$n^{2} + n^{2} + 4 n + 4 - 2 n^{2} - 4 n - 2 = 2$

${(x + 8)}^{2}$
${(x - 8)}^{2}$
$(x + 8) (x - 8)$

${(2 x + 3)}^{2}$
${(2 x - 3)}^{2}$
$(2 x + 3) (2 x - 3)$

${(10 x + y)}^{2}$
${(10 x - y)}^{2}$
$(10 x + y) (10 x - y)$

Zie tabel:

$‐ 3$	$‐ 2$	$‐ 1$	0	1	2	3	4	5
25	16	9	4	1	0	1	4	9

${(x - 2)}^{2}$

${(x - 2)}^{2}$ is voor elke $x$ positief of 0, want:

als $x > 2$ is ${(x - 2)}^{2}$ een positief getal $\times$ een positief getal, en dus positief
als $x < 2$ is ${(x - 2)}^{2}$ een negatief getal maal een negatief getal, en dus positief
als $x = 2$ is ${(x - 2)}^{2} = 0^{2} = 0$

$x^{2} - 20 x + 100 = {(x - 10)}^{2} \geq 0$

$x^{2} - 20 x$ is 100 kleiner dan $x^{2} - 20 x + 100$
Daar kunnen alle getallen $\geq ‐ 100$ uitkomen.

$x^{2} - 20 x + 37$ is 63 kleiner dan $x^{2} - 20 x + 100$
Daar kunnen alle getallen $\geq ‐ 63$ uitkomen.

10s

11s

$x^{2} + 10 x + 25 = {(x + 5)}^{2} \geq 0$
$x^{2} + 10 x + 49$ is 24 meer dan $x^{2} + 10 x + 25$ . Dus kan $x^{2} + 10 x + 49$ alle waarden $\geq 24$ aannemen.

$x^{2} + 16 x + 64 = {(x + 8)}^{2} \geq 0$
$x^{2} + 16 x + 69$ is 5 meer dan, en kan dus alle waarden $\geq 5$ aannemen.
op de ... moet 69 staan.