De stelling van Pythagoras met bewijs

In de vorige paragraaf heb je gezien dat de 3-4-5-, de 5-12-13-, de 8-15-17- en de 20-21-29-driehoek rechthoekig zijn. Het zijn bijzondere rechthoekige driehoeken omdat de lengte van alle zijden een geheel getal is. Je ziet ze nog eens getekend. Bovendien zijn er op de zijden vierkanten getekend.

In elk van de vier tekeningen bepalen we:

A: de oppervlakte van het vierkant op de kortste rechthoekszijde;

B: de oppervlakte van het vierkant op de langste rechthoekszijde;

C: de som van de oppervlaktes van de twee vierkanten op de rechthoekszijden;

D: de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde.

Neem de tabel over en vul hem in.

	A	B	C	D
3-4-5-driehoek	$3^{2} = 9$	$4^{2} = 16$	$9 + 16 = 25$	$5^{2} = 25$
5-12-13-driehoek
8-15-17-driehoek
20-21-29-driehoek

Zoals uit opgave 12 blijkt, bestaat er een verband tussen de oppervlaktes van de vierkanten op de zijden van een rechthoekige driehoek. Er geldt:
de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is gelijk aan de som van de oppervlaktes van de vierkanten op de rechthoekszijden.

In het rooster is een driehoek getekend en op de zijden van de driehoek vierkanten.

De oppervlakte van het grootste vierkant is eenvoudig te berekenen. Het kleinste vierkant is nog eens apart getekend in een rooster dat er precies omheen past. Dat helpt je om de oppervlakte ervan te berekenen.

Ga na dat de oppervlakte van het kleinste vierkant 5 is.

Bereken ook de oppervlakte van het derde vierkant.

In het voorgaande voorbeeld is de oppervlakte van het grote vierkant niet gelijk aan de som van de oppervlaktes van de twee andere vierkanten.

We bekijken nog vier driehoeken met op de zijden vierkanten; die zijn in een rooster getekend.

Bereken de oppervlakte van elk vierkant.

Welke driehoeken hebben de eigenschap: de oppervlakte van het grootste vierkant is gelijk aan de som van de oppervlaktes van de twee andere vierkanten?

De driehoeken die je bij opgave 13d opgeschreven hebt zijn rechthoekig. Alle rechthoekige driehoeken hebben namelijk de eigenschap dat de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de vierkanten op de rechthoekszijden. Deze eigenschap staat bekend als de stelling van Pythagoras.

Een bewijs van de stelling van Pythagoras berust op de legpuzzel uit opgave 1c. We laten nu in het midden hoe groot de lengtes van de zijden van de rechthoekige driehoeken zijn. We duiden ze aan met letters, of beter gezegd met variabelen.

In de tekening zie je twee even grote vierkanten met zijden $a + b$ .

Het linker vierkant is verdeeld in één vierkant met zijden $a$ , één vierkant met zijden $b$ en vier rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden $a$ en $b$ en schuine zijde $c$ .
Het rechter vierkant is verdeeld in één vierkant met zijden $c$ en vier rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden $a$ en $b$ en schuine zijde $c$ .

De rechthoekige driehoeken zijn allemaal even groot. Laten we deze weg, dan houden we twee figuren over die nog steeds dezelfde oppervlakte hebben.

De figuur links bestaat uit de twee vierkanten op de rechthoekszijden.
De figuur rechts bestaat uit het vierkant op de schuine zijde.

We vinden het volgende verband.

In een rechthoekige driehoek geldt: de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is gelijk aan de som van de oppervlaktes van de vierkanten op de rechthoekszijden.
In het plaatje:
oppervlakte I + oppervlakte II = oppervlakte III.
Deze eigenschap heet de stelling van Pythagoras.
We kunnen de stelling van Pythagoras ook als volgt formuleren.
Noemen we de rechthoekszijden van de driehoek $a$ en $b$ en de schuine zijde $c$ , dan geldt:
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .
Let op:
de stelling van Pythagoras geldt alleen voor rechthoekige driehoeken.

De Griek Pythagoras leefde in de zesde eeuw v. Chr. De jaren van zijn geboorte en sterfte zijn niet precies bekend. Pythagoras stichtte zijn eigen school in Croton (Zuid-Italie), waar hij en zijn volgelingen, pythagoreeërs genaamd, zich bezighielden met religieuze en ethische vraagstukken en het beoefenen van wiskunde, muziektheorie en astronomie.
De stelling die aan Pythagoras wordt toegeschreven, was al aan de Babyloniërs bekend. Maar het is mogelijk dat de pythagoreeërs de eerste waren die er een bewijs voor hadden. Voor de stelling van Pythagoras bestaan tegenwoordig heel veel bewijzen. Zo publiceerde Elisha Scott Loomis in 1940 The Pythagorean Proposition met 367 verschillende bewijzen.

Een "knipbewijs" van de stelling van Pythagoras vind je in de applet "knipbewijs" .

Oefenen met de stelling van Pythagoras

De zogenaamde Pythagoras-boom is opgebouwd uit vierkanten en rechthoekige driehoeken.
In sommige vierkanten is al ingevuld hoe groot hun oppervlakte is.
Bereken de oppervlakte van de andere vierkanten.

Voorbeeld

In de rechthoekige driehoek kunnen we $v$ als volgt berekenen.

Omdat de driehoek rechthoekig is, geldt:
$24^{2} + v^{2} = 26^{2}$
$v^{2} = 676 - 576$
$v^{2} = 100$
$v = 10$

Bereken op deze manier in de rechthoekige driehoeken $x$ , $y$ , $m$ , $n$ en $p$ .

Een ladder staat tegen een muur. De bovenkant komt 84 dm hoog. De voet van de ladder staat 13 dm van de muur af. In het plaatje zie je een schets van de situatie.

Bereken de lengte van de ladder.

De ladder wordt een stuk omlaag getrokken, zó dat de voet op 36 dm van de muur komt.

Hoe hoog reikt de ladder nu?

(hint)

Maak een nieuwe schets.

Zie het plaatje. Bereken $x$ .

Tamara heeft een foto op karton geplakt. Die wil zij in een doorzichtig plastic doosje bewaren. De foto past precies in het doosje, dat 5 cm hoog, 12 cm breed en 18 cm lang is.
Wat zijn de afmetingen van de foto?

De vlieger van Dennis is vast blijven zitten in de top van een boom. Het touw is 26 meter lang. Als Dennis het touw strak trekt, staat hij 10 meter van de boom af. De hand waarmee hij het touw strak houdt is 2 meter boven de grond.

Maak een schets van de situatie.

Bereken de hoogte van de boom.