17.8 Gemengde opgaven >

Hoofdstukken > Pythagoras

In de tekening is $∠ A B C$ recht.

Bereken $B C$ en $B D$ .

Toon met een berekening aan dat $∠ A C D$ recht is.

Toon met gelijkvormigheid aan dat $∠ A C D$ recht is.

Bereken $x$ en $y$ in elk van de drie figuren.

Van een balk weten we het volgende:

de lengte en de breedte zijn even lang;
de breedte is twee keer zo lang als de hoogte;
de lengte van de lichaamsdiagonaal is 15 dm.

Bereken de afmetingen van de balk.

De regelmatige piramide heeft een grondvlak van 12 bij 12. De opstaande ribben zijn 17.
Bereken de hoogte van de piramide.

In een spijkerbord zitten de spijkers op 1 cm afstand van elkaar. Tussen twee spijkers kun je een draadje spannen.

Bereken de lengte van de draadjes die je van $A$ naar $B$ , $C$ , $D$ , $E$ en $F$ kunt spannen.

Ga met een berekening na of $∠ A C B$ recht is.

Sietse maakt van drie halve boomstammen een bankje. De diameter van de boomstammen aan de onderkant is 2 dm, de diameter van de bovenste stam 4 dm.

Hoeveel dm is het bankje hoog?

Bert heeft een vlieger gemaakt. De zijden van de vlieger zijn 29, 29, 52 en 52 cm lang. Het korte dwarslatje is 40 cm lang.

Bereken de lengte van het andere latje.

Bert heeft de vlieger uit een rechthoekig stuk papier geknipt.

Bereken de oppervlakte van de vlieger.

$C D$ is de hoogtelijn in driehoek $A B C$ . Er geldt: $C D = 2$ , $∠ B A C = 30^{\circ}$ en $∠ A C B = 105^{\circ}$ .

Bereken $∠ A B C$ .

Bereken de zijden van driehoek $A B C$ in één decimaal nauwkeurig.

In de figuur zie je een plattegrond van een zwembad. 10 meter uit de rand van het bad staan op 5 meter afstand van elkaar zeven paaltjes in het water.

Ada, Bart en Celine willen van $A$ naar $B$ zwemmen. Ada en Bart zijn geen geoefende zwemmers en zwemmen via een paaltje. Ada neemt route 1 en Bart route 2.

Bereken in dm nauwkeurig hoeveel langer de route van Bart is dan die van Ada.

Celine neemt de kortste route van $A$ naar $B$ . Zij hoeft niet zo nodig via een paaltje. Bereken de lengte van haar route.

10s

In een rechthoekig weiland van 255 m lang en 136 m breed staan twee eiken: één bij punt $P$ en één bij punt $Q$ . $P$ en $Q$ liggen op de diagonaal $A C$ , zo dat $D P$ en $B Q$ loodrecht op $A C$ staan.

Bereken afstand $A C$ .

Bereken in meters nauwkeurig hoever de eiken van elkaar staan.

(hint)

Driehoek

A B C

is gelijkvormig met driehoek

B Q C

Judocus gaat een puntmuts maken. Hij heeft de omtrek van zijn schedel gemeten, die is ongeveer 56 cm. Hij snijdt een punt uit een cirkelvormig stuk karton met straal 27 cm, ongeveer $\frac{1}{3}$ deel van de hele cirkel. Daar maakt hij met plakband een kegel van.

Reken na dat de omtrek van de grondcirkel van die kegel ongeveer 56 cm is.

Bereken de straal van de grondcirkel van de kegel en bereken hoe hoog de kegel wordt.

Een kubusvormig kistje heeft ribben van 24 cm. Het deksel scharniert. Punt $P$ verdeelt de rand van het deksel in stukken van 8 en 16 cm. Een spin loopt over de voorkant en het deksel van het kistje van $A$ naar $P$ , via een zo kort mogelijke route. Het kistje staat open.

Hangt de lengte van de route af van hoe hoog het deksel open staat?

Bereken de lengte van de kortste route.

12s

13s

Een kamer heeft een lengte van 20 m en een breedte en hoogte van 4 m. Midden op één van de korte muren zit op 1 m boven de vloer een spin. Midden op de tegenoverliggende muur landt op 1 m onder het plafond een vlieg.
De spin loopt via een zo kort mogelijke route naar de vlieg toe. De spin doet dit zonder de muren, de vloer en het plafond te verlaten. De route die de spin aflegt is korter dan 24 m.

Bereken de lengte van de kortste route.

(hint)

Maak een uitslag van de kamer.

Bereken $x$ en $y$ in de drie figuren.

Driehoek $A B C$ heeft zijden van 20, 21 en 13. We willen de oppervlakte van de driehoek gaan berekenen. Daarvoor tekenen we de hoogtelijn uit $C$ . We krijgen twee rechthoekige driehoeken, waarin we de stelling van Pythagoras toe kunnen passen. De lengte van $C D$ noemen we $h$ en $D B$ noemen we $x$ . $A D$ is dan $21 - x$ .

Laat zien dat $h^{2} = 400 - {(21 - x)}^{2}$ .

Druk $h^{2}$ op nog een andere manier in $x$ uit.

Door de twee uitdrukkingen in $h^{2}$ aan elkaar gelijk te stellen, vind je een vergelijking voor $x$ .

Stel die vergelijking op en bereken $x$ .

Bereken $h$ en de oppervlakte van driehoek $A B C$ .