17.8 Gemengde opgaven >

Hoofdstukken > Pythagoras

$B C^{2} = 15^{2} - 9^{2} = 144$ , dus $B C = \sqrt{144} = 12$
$B D^{2} = 20^{2} - 12^{2} = 256$ , dus $B D = \sqrt{256} = 16$

$A D = 25$ , dus $A D^{2} = A C^{2} + C D^{2}$ , dus $∠ C$ is recht.

De zijden van driehoek $A B C$ zijn 9, 12 en 15.
De zijden van driehoek $A C D$ zijn $1 \frac{2}{3}$ keer zo groot, dus de driehoeken $A B C$ en $A C D$ zijn gelijkvormig. Hieruit volgt dat $∠ C$ recht is.

linker figuur:
$x^{2} = 19^{2} - 17^{2} = 72$ , dus $x = \sqrt{72}$
$y^{2} = 18^{2} - 17^{2} = 35$ , dus $y = \sqrt{35}$

rechter figuur:
$x^{2} = 22^{2} - 20^{2} = 84$ , dus $x = \sqrt{84}$
$z = x + y$ , dan $z^{2} = 25^{2} - 20^{2} = 225$
$x + y = \sqrt{225} = 15$ , dus $y = 15 - \sqrt{84} \approx 5,8$

balk:
$x^{2} = 2^{2} + 3^{2} = 13$ , dus $x = \sqrt{13}$
$y^{2} = 6^{2} + x^{2} = 49$ , dus $y = 7$

Stel de hoogte is $h$ dm, dan zijn de lengte en de breedte $2 h$ dm. Hieruit volgt dat ${lichaamsdiagonaal}^{2} = h^{2} + {(2 h)}^{2} + {(2 h)}^{2} = 9 h^{2} = 15^{2} = 225$
Hieruit volgt dat $h^{2} = 25$ en dus $h = 5$ dm.

$x^{2} = 6^{2} + 6^{2} = 72$
$h^{2} + x^{2} = 17^{2}$ , dus $h^{2} + 72 = 289$ , dus $h = \sqrt{217} \approx 14,7$

$A B^{2} = 7^{2} + 1^{2} = 50$ , dus $A B = \sqrt{50}$
$A C^{2} = 6^{2} + 3^{2} = 45$ , dus $A C = \sqrt{45}$
$A D^{2} = 5^{2} + 4^{2} = 41$ , dus $A D = \sqrt{41}$
$A E^{2} = 5^{2} + 5^{2} = 50$ , dus $A E = \sqrt{50}$
$A F^{2} = 4^{2} + 6^{2} = 52$ , dus $A F = \sqrt{52}$

Geldt: $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ ?
$B C^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 5$ , dus $A B^{2} = 50 = 45 + 5 = A C^{2} + B C^{2}$ , dus $∠ A C B$ is recht.

$A C = 1 + 2 = 3$ dm
$A B = 1$ dm
$A C = \sqrt{3^{2} - 1^{2}} = \sqrt{8}$ dm.
Dus het bankje is $\sqrt{8}$ dm hoog.

$x^{2} = 52^{2} - 20^{2} = 2304$ , dus $x = 48$
$y^{2} = 29^{2} - 20^{2} = 441$ , dus $y = 21$
dus $x + y = 69$ cm

$\frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 69 = 1380$ cm²

$∠ A B C = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 105^{\circ} = 45^{\circ}$

$D B = 2$ en $B C = 2 \sqrt{2}$ (driehoek $B C D$ is een $45^{\circ} - 45^{\circ} - 90^{\circ}$ -driehoek)
$A D = 2 \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ en $A C = 2 \cdot 2 = 4$ (driehoek $A C D$ is een $30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ -driehoek)
Dus $A B = 2 + 2 \sqrt{3} \approx 5,5$ , $A C = 4$ en $B C = 2 \sqrt{2} \approx 2,8$

Ada: $\sqrt{10^{2} + 10^{2}} + \sqrt{30^{2} + 20^{2}} = \sqrt{200} + \sqrt{1300} \approx 50,198$ meter
Bart: $\sqrt{10^{2} + 20^{2}} + \sqrt{20^{2} + 20^{2}} = \sqrt{500} + \sqrt{800} \approx 50,645$ meter.
De route van Bart is 4 dm langer.

$A B = \sqrt{40^{2} + 30^{2}} = \sqrt{2500} = 50$ meter

10s

$A C = \sqrt{255^{2} + 136^{2}} = 289$ m

Driehoek $B Q C$ is gelijkvormig met driehoek $A B C$ . De vergrotingsfactor is $\frac{136}{289} = \frac{8}{17}$ .
Dus $C Q = A P = \frac{8}{17} \cdot 136 = 64$ .
Dus $P Q = 289 - 2 \cdot 64 = 161$ .
De eiken staan 161 m uit elkaar.

$\frac{1}{3} \cdot 2 π \cdot 27 \approx 56$ cm

de straal van de grondcirkel van de kegel is $\frac{1}{3} \cdot 2 π \cdot 27 : 2 π = 9$ cm
${hoogte}^{2} = 27^{2} - 9^{2} = 648$
dus $hoogte \approx 25,46$ cm

Nee

$A P^{2} = 16^{2} + 48^{2} = 2560$ , dus $A P = \sqrt{2560} \approx 50,6$ cm

12s

13s

$S$ is de positie van de spin, $V$ de positie van de vlieg. $S V$ is de kortste route.
$S H = 1 + 20 + 2 = 23$ en $H V = 2 + 3 = 5$ , dus $S V = \sqrt{23^{2} + 5^{2}} \approx 23,5$ m.
Dus de lengte van de kortste route is ongeveer 23,5 m.

linker figuur:
Het is een 3-4-5-driehoek, dus $2 x + 1 = 4$ $\to$ $2 x = 3$ $\to$ $x = 1 \frac{1}{2}$
Andere aanpak: $3^{2} + {(2 x + 1)}^{2} = 5^{2}$
dus ${(2 x + 1)}^{2} = 16$ , zodat $2 x + 1 = 4$
dus $x = 1 \frac{1}{2}$

middelste figuur:
$y^{2} + {(2 y)}^{2} = 10^{2}$
$y^{2} + 4 y^{2} = 5 y^{2} = 100$
$y^{2} = 20$
dus $y = \sqrt{20}$

rechter figuur:
${(2 x + 2)}^{2} + 5^{2} = {(2 x + 3)}^{2}$
$4 x^{2} + 8 x + 4 + 25 = 4 x^{2} + 12 x + 9$
$20 = 4 x$
dus $x = 5$

Dat is de stelling van Pythagoras in driehoek $A C D$ .

$h^{2} = 13^{2} - x^{2}$ (stelling van Pythagoras in driehoek $B D C$ )

$13^{2} - x^{2} = 400 - {(21 - x)}^{2}$
$169 - x^{2} = 400 - (441 - 42 x + x^{2})$
$169 - x^{2} = ‐41 + 42 x - x^{2}$
$42 x = 210$
$x = 5$

$h^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 144$ , dus $h = 12$
$oppervlakte = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 126$