Het product is ...

Een rechthoekig terras telt $144$ vierkante tegels.

Wat kunnen de afmetingen van het terras zijn? Schrijf alle mogelijkheden op. Werk volgens een systeem. Neem daarvoor de tabel over.

breedte	$1$								$12$
lengte

Wat zijn de afmetingen van het terras van $144$ vierkante tegels met de kleinste omtrek?

Wat zijn de afmetingen van het terras van $144$ vierkante tegels dat in de lengte zeven tegels meer heeft dan in de breedte?

Een bioscoopzaaltje heeft $91$ zitplaatsen. Op elke rij zijn er evenveel zitplaatsen.

Hoeveel rijen en hoeveel zitplaatsen per rij zijn er in dat zaaltje, denk je?

Een legpuzzel bestaat uit $187$ stukjes. Op elke rij liggen evenveel stukjes.

Hoeveel stukjes liggen er op een rij?

Anneke gaat de puzzel leggen. Ze begint natuurlijk met de rand.

Hoeveel randstukjes heeft de puzzel?

De Maya's, een indianenstam in Midden Amerika, hadden al eeuwen geleden een hoog ontwikkelde cultuur. Zij kenden een heel andere tijdrekening dan wij. Een Maya-jaar telt een aantal "maanden"; elke maand heeft evenveel dagen. In totaal telt een Maya-jaar $260$ dagen.

Hoeveel dagen kan een maand geteld hebben?
Geef alle mogelijkheden.

Anneke legt een rechthoek van precies $24$ tegels.

Wat zijn de afmetingen van die rechthoek? Geef alle mogelijkheden.

Wat zijn de afmetingen van de rechthoek als Anneke $25$ tegels gebruikt? En als ze $26$ tegels gebruikt? En als ze $23$ tegels gebruikt?

Bij $23$ tegels is er maar één mogelijkheid, namelijk de flauwe manier: $1$ bij $23$ . Met andere woorden: je kunt $23$ maar op één manier schrijven als product van twee positieve gehele getallen.

Noem nog een paar getallen die je maar op één manier kunt schrijven als product van twee positieve gehele getallen.

Een positief getal dat je maar op één manier kunt schrijven als product van twee positieve gehele getallen, noemen we een priemgetal.
Het getal $1$ neemt een uitzonderingspositie in: we spreken af dat $1$ geen priemgetal is.

Een vergelijking oplossen

Hieronder staan zeven vragen. Bij elke vraag moet je twee dingen doen:

vertaal de vraag in wiskundetaal; gebruik daarbij de letter $x$ ,
beantwoord de vraag.

De eerste vraag is als voorbeeld al gedaan.

Van welke getallen is het kwadraat $25$ ?

$x^{2} = 25$
$x = 5$ en $x = ‐ 5$

Van twee opeenvolgende getallen is de som $51$ .
Wat is het kleinste van die twee getallen?

Van twee opeenvolgende gehele getallen is het product $56$ .
Wat is het kleinste van die twee getallen? (Er zijn twee mogelijkheden.)

Een kubus heeft een inhoud van $8$ cm³.
Hoe lang zijn de ribben?

Van welk getal is het kwadraat $‐ 64$ ?

Van welk getal is de derde macht $‐ 64$ ?

Van welk getal is het drievoud gelijk aan het getal vermeerderd met $5$ ?

Bij vragen zoals in de vorige opgave horen vergelijkingen.

Het antwoord op zo'n vraag bestaat uit alle getallen die aan de vergelijking voldoen.

Los de vergelijking op betekent: zoek alle getallen die aan de vergelijking voldoen. We noemen deze getallen oplossingen.

Een oplossing kun je controleren door deze in te vullen in de vergelijking.

Voorbeeld
Het getal $‐ 2$ is geen oplossing van de vergelijking $x (x + 2) = 4 x$ , want als je $‐ 2$ voor $x$ invult, geven $x (x + 2)$ en $4 x$ verschillende uitkomsten (namelijk $‐ 2 \cdot (‐ 2 + 2) = 0$ en $4 \cdot ‐ 2 = ‐ 8$ ).
Wel voldoen de getallen $0$ en $2$ . Controleer maar!

Ga voor elk van de getallen $‐1$ , $0$ , $1$ en $2$ na of het aan de vergelijking $x^{2} + x = x + 1$ voldoet.

Ga voor elk van de getallen $‐ 4$ , $‐ 1$ , $1$ en $4$ na of het aan de vergelijking $(x - 1) (x + 4) = 0$ voldoet.

Ga voor elk van de getallen $‐4$ , $‐1$ , $1$ en $4$ na of het aan de vergelijking $x^{2} − 3 x - 4 = 0$ voldoet.

We bekijken een aantal vergelijkingen. Van sommige kun je meteen zien welke getallen voldoen, andere vergelijkingen zijn lastiger. Maar met wat nadenken kun je die waarschijnlijk ook wel oplossen. Geef het in elk geval niet te gauw op. Niet elke vergelijking heeft precies één oplossing: er kunnen ook meerdere oplossingen zijn, of juist geen enkele. Je bent pas klaar als je alle oplossingen hebt gevonden.

Los op: gebruik zo nodig 'nadenkpapier'.

$x + 2 = 2 x$	$2 x = x$
$x + 2 = x$	$2 (x + 2) = x$
$x^{2} = 9$	$x^{2} = ‐ 9$
$x^{5} = 32$	$x^{5} = ‐ 32$
${(x + 1)}^{2} = 16$	${(x - 1)}^{3} = ‐ 8$

Bekijk de vergelijking $3 x^{2} − 6 x = 24$ .
Anneke beweert dat $2$ voldoet aan de vergelijking; immers $3 \cdot 2^{2} − 6 \cdot 2 = 36 - 12 = 24$ .
Vinja zegt dat $2$ niet voldoet aan de vergelijking, omdat $3 \cdot 2^{2} − 6 \cdot 2 = 12 - 12 = 0$ .

Wie van de twee heeft gelijk? Waarom?

In hoofdstuk 11 - Machten heb je geleerd dat machtsverheffen vóór vermenigvuldigen gaat. Dus: $3 \cdot 2^{2} = 3 \cdot 4$ .

Machtsverheffen gaat vóór vermenigvuldigen.
Dus: $2 x^{2} = 2 \cdot x \cdot x$

Stel dat je per se wilt dat in $3 \cdot 2^{2}$ eerst $3 \cdot 2$ wordt uitgerekend, en dan pas het kwadraat, hoe moet je dat dan opschrijven?

Ga na of $4$ voldoet aan de vergelijking $3 x^{2} − 6 x = 24$ .

Bereken:

$\frac{1}{2} \cdot 6^{2}$	$3^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{4}$
$4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}$	$2^{3} \cdot 3 \cdot 4^{2}$

Net zo iets is er aan de hand met $‐ x^{2}$ .
Anneke denkt dat $‐ 3^{2} = ‐ 3 \cdot ‐ 3 = 9$ .
Vinja denkt dat $‐ 3^{2} = ‐ (3 \cdot 3) = ‐ 9$ .

Wie heeft gelijk?

Machtsverheffen gaat vóór het tegengestelde nemen.

Dus: $‐ x^{2} = ‐ (x \cdot x)$

Hoe schrijf je kort op: het kwadraat van $‐ 4$ ? Bereken het kwadraat van $‐ 4$ .
Hoe schrijf je kort op: het kwadraat van $‐ 4 x$ ? Dat is gelijk aan $\dots \cdot x^{2}$ (vul in).

Bereken:

$‐ x^{2} + 4 x$	als $x = ‐ 2$
$‐ 2 x^{4} - 3 x$	als $x = ‐ 1$
$‐ x^{4} − x^{3} − x^{2}$	als $x = ‐ 1$

Als je de bovenstaande opdracht moeilijk vind, dan kun je het invullen van negatieve getallen in formules (met kwadraten) nog extra te oefenen, tot je het snel en foutloos kunt. Daartoe kun je meerdere keren de volgende mini-loco maken.
Substitutie van negatieve getallen .

Schrijf zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk:

$‐ 2 \cdot 5 x$	${(‐ 2 x)}^{2} \cdot ‐ 5 x^{2}$
$‐ 2 x \cdot ‐ 5 x$	${(‐ 2 x)}^{2} \cdot {(‐ 5 x)}^{2}$
$‐ 2 x \cdot ‐ 5 x^{2}$	$‐ 2 x \cdot {(‐ 5 x)}^{2}$

De vergelijking $x^{2} = 36$ heeft twee oplossingen, namelijk $6$ en $‐ 6$ . Vul maar in!
De twee oplossingen van de vergelijking ${(2 x)}^{2} = 36$ ken je nu ook, namelijk 3 en $‐ 3$ (omdat $2 x = 6$ of $2 x = ‐ 6$ ). Vul maar in!

Wat hierboven staat kun je ook korter opschrijven. Hoe dat gaat zie je hieronder.
${(2 x)}^{2} = 36$
$2 x = 6$ of $2 x = ‐ 6$
$x = 3$ of $x = ‐ 3$

Geef van elke vergelijking de twee oplossingen. Kijk goed naar het voorbeeld van hierboven.

${(4 x)}^{2} = 36$	$x^{2} = 100$
${(\frac{1}{2} x)}^{2} = 36$	${(2 x)}^{2} = 100$
${(x + 1)}^{2} = 36$	${(x + 3)}^{2} = 100$
${(x - 5)}^{2} = 36$	${(11 - x)}^{2} = 100$

Los op, dat wil zeggen geef alle getallen $x$ die aan de vergelijking voldoen.

${(2 x + 1)}^{2} = 36$	$x^{2} = 25$
${(2 x + 1)}^{2} = 0$	$9 + x^{2} = 25$
${(2 x + 1)}^{2} = ‐ 36$	${(x + 9)}^{2} = 25$
${(2 x + 1)}^{2} = 1$	$9 \cdot x^{2} = 25$

13s

14s

Los op, dat wil zeggen geef alle getallen $x$ die aan de vergelijking voldoen.

$x^{3} = 27$	${(7 - x)}^{4} = 16$	$‐ x^{4} = ‐ 16$
${(x + 1)}^{3} = 27$	${(7 - x)}^{4} = ‐ 16$	$‐ x^{4} = 16$
$x^{3} = ‐ 27$	$7 - x^{4} = 16$	${(‐ x)}^{4} = 16$
${(x + 1)}^{3} = ‐ 27$