Het product van twee getallen is 0. Ga na dat je met zekerheid een van die twee getallen kent.

Het product van twee getallen is 60. Ga na dat je nu niet met zekerheid een van die twee getallen kent.

Bereken uit het hoofd: $317 \cdot 15 \cdot 0 \cdot 25$ en $7 \cdot ‐ 5 \cdot 16 \cdot 0$ .

Ga na dat $x = 3$ voldoet aan de vergelijking: $(x - 3) (x + 1) = 0$ .

Er is nog een getal dat aan deze vergelijking voldoet. Welk getal is dat?

Welke drie getallen voldoen aan de vergelijking: $(x - 1) (x + 1) (x + 2) = 0$ ?
Ga ook na dat er geen andere getallen zijn die voldoen.

Het product van twee getallen is 0. Ga na dat je met zekerheid een van die twee getallen kent.

Het product van twee getallen is 60. Ga na dat je nu niet met zekerheid een van die twee getallen kent.

Bepaal de oplossingen van de vergelijking $(x - a) (x - b) = 0$ .

Los de volgende vergelijkingen op:
$(x + 3) (x + 5) = 0$
$(x - 3) (2 x - 3) = 0$
$x (x - 4) = 0$

In woorden
Als het product van twee getallen nul is, dan is het ene getal nul of is het andere getal nul.

In algebrataal
Als $a \cdot b = 0$ , dan $a = 0$ of $b = 0$ .

Een dergelijke uitspraak geldt ook voor het product van drie of meer factoren dat nul is.

Los op:
$(x - 2) (x + 3) (x - 4) (x + 5) = 0$
$3 x (x - 1) (3 x + 12) = 0$
$x (2 x + 1) (3 x - 1) (4 x + 1) = 0$

Geef een vergelijking waarvan 1, 3, 5, 7 en 9 de (enige) oplossingen zijn.

Geef een vergelijking waarvan 0, 1, $‐1$ en 111 de (enige) oplossingen zijn.

Voorbeeld
We gaan de vergelijking $(x^{2} - 4) (x^{2} + 9) = 0$ oplossen. Er zijn twee mogelijkheden:

de eerste factor is 0 als $x^{2} = 4$ , dus $x = 2$ of $x = ‐ 2$ ,
de tweede factor is 0 als $x^{2} = ‐ 9$ , maar dat kan niet.

De vergelijking heeft dus twee oplossingen: 2 en $‐ 2$ .

Voorbeeld
We gaan de vergelijking $x^{3} (x^{2} - 9) = 0$ oplossen. Er zijn twee mogelijkheden:

de eerste factor is 0 als $x^{3} = 0$ , dus $x = 0$ ,
de tweede factor is 0 als $x^{2} = 9$ , dus $x = 3$ of $x = ‐ 3$ .

De vergelijking heeft drie oplossingen: 0, 3 en $‐ 3$ .

Los op:

$x (x^{2} - 1) (x^{2} - 9) = 0$	$x^{2} (x - 16) = 0$
$7 x^{5} (x^{3} - 8) {(x - 11)}^{2} = 0$	$x (x^{2} - 16) = 0$
${(x - 9)}^{2} (x^{2} - 9) = 0$	$(x^{2} + 1) (x^{2} - 16) = 0$

Je hebt de volgende stelling geleerd.

Als een product 0 is,
dan is minstens één van de factoren 0.

Een dergelijke stelling hebben we niet voor een product dat 60 is, of voor nog een andere uitkomst. 0 is voor producten dus een heel bijzondere uitkomst. Dit feit gebruiken we in de volgende paragraaf om vergelijkingen systematisch op te lossen. Daarvoor schrijven we een vergelijking als een product van de vorm: $a \cdot b = 0$ . We oefenen daarom eerst het schrijven van een uitdrukking als product; we noemen dit ontbinden in factoren.

Bij ontbinden in factoren gebruiken we de onderstaande gelijkheden.

Distributiewetten
Voor alle getallen $a$ , $b$ en $c$ geldt:

$a (b + c) = a b + a c$
$a (b - c) = a b - a c$

Product van tweetermen Voor alle getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ geldt:

$(a + b) (c + d) = a b + a d + b c + b d$

Merkwaardige producten Voor alle getallen $a$ en $b$ geldt:

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Voorbeeld

We kunnen

x^{3} - 6 x^{2}

schrijven als het product van de factoren

x^{2}

x - 6

.
Dus:

x^{3} - 6 x^{2} = x^{2} (x - 6)

Voorbeeld

De uitdrukking

x^{2} - 10 x + 21

kunnen we ontbinden in

(x - 3) (x - 7)

.
Dus:

x^{2} - 10 x + 21 = (x - 3) (x - 7)

Ontbind zo ook in factoren:

$x^{2} - 7 x$	$x^{2} - 5 x + 4$
$x^{3} - 7 x^{2}$	$x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2}$
$x^{2} - 7 x + 10$	$4 x^{3} - 100 x$
$x^{3} - 7 x^{2} + 10 x$	$4 x^{6} - 100 x^{4}$

Bekijk de drieterm $x^{2} + k x - 16$ . Voor sommige gehele getallen $k$ is de drieterm te ontbinden, voor andere niet.
Als $k = 6$ , dan krijg je $x^{2} + 6 x - 16 = (x - 2) (x + 8)$ .
Als $k = 7$ , dan krijg je de drieterm $x^{2} + 7 x - 16$ ; deze kan niet ontbonden worden.

Onderzoek welke gehele getallen je voor $k$ kunt kiezen zodat de drieterm $x^{2} + k x - 16$ in twee factoren ontbonden kan worden.

Onderzoek welke gehele getallen je voor $k$ kunt kiezen, met $‐ 20 \leq k \leq 20$ , zodat $x^{2} - 16 x + k$ in twee factoren ontbonden kan worden.

Wil je meer oefenen met ontbinden in factoren, ga naar de site van WisWeb en kies Haakjessommen ontbinden.