De graad van een vergelijking

$x^{4} = 2 x^{2} - 3$ is een vierdegraads vergelijking, omdat de hoogste macht van $x$ in deze vergelijking 4 is.
$x^{6} = 64$ is een zesdegraads vergelijking.
$5 x = {(x + 2)}^{2}$ is een tweedegraads vergelijking.
$5 (x + 3) = 2 x - 5$ is een eerstegraads vergelijking. Eerstegraads vergelijkingen heb je al in hoofdstuk 14 leren oplossen.

We kunnen sommige hogeregraads vergelijkingen oplossen, zoals: $x^{3} = 5 x^{2} - 4 x$ en $x^{4} = 5 x^{2} - 4$ .

Van welke graad zijn deze twee vergelijkingen?

De vergelijking $x^{3} = 5 x^{2} - 4 x$ lijkt veel op de vergelijking $x^{2} = 5 x - 4$ . Hoe je deze twee vergelijkingen oplost, zetten we naast elkaar.

Voorbeeld

$x^{2} = 5 x - 4$	$x^{3} = 5 x^{2} - 4 x$
$x^{2} - 5 x + 4 = 0$	$x^{3} - 5 x^{2} + 4 x = 0$
$(x - 4) (x - 1) = 0$	$x (x^{2} - 5 x + 4) = 0$
$x = 4$ of $x = 1$	$x (x - 4) (x - 1) = 0$
	$x = 0$ of $x = 4$ of $x = 1$

Merk op dat het ontbinden in factoren bij de nieuwe vergelijking (rechts) in twee stappen gaat. De extra stap is: " $x$ buiten haakjes halen". We zijn dit soort vergelijkingen al in paragraaf Systematisch oplossen tegengekomen.

Los op:
$x^{3} = 4 x^{2} - 4 x$
$x^{3} - 3 x^{2} = 4 x$
$x^{4} + 9 x^{3} = 22 x^{2}$

De vergelijking $x^{4} = 5 x^{2} - 4$ ziet er misschien wat moeilijk uit. Ook deze lijkt veel op de vergelijking $x^{2} = 5 x - 4$ . Hoe je deze twee vergelijkingen oplost, zetten we naast elkaar.

Voorbeeld

$x^{2} = 5 x - 4$	$x^{4} = 5 x^{2} - 4$
$x^{2} - 5 x + 4 = 0$	$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$
$(x - 4) (x - 1) = 0$	$(x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 0$
$x = 4$ of $x = 1$	$x = 2$ of $x = ‐ 2$ of $x = 1$ of $x = ‐ 1$

Merk op dat bij de vergelijking rechts $x^{2}$ de plaats heeft ingenomen van $x$ in de vergelijking links.

Los op:

$x^{2} = 8 x - 16$	$x^{4} - 3 x^{2} = 4$
$x^{4} = 8 x^{2} - 16$	$x^{6} + 7 x^{3} = 8$

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 1 = 25$ en 25 is een kwadraat. $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 1 = 121$ en dat is ook een kwadraat. We vermoeden dat het product van vier opeenvolgende gehele getallen vermeerderd met 1 een kwadraat is.

Controleer dit vermoeden als het kleinste getal 4 is. Ook als het kleinste getal 21 is.

We gaan het vermoeden bewijzen. We nemen daarvoor de vier opeenvolgende gehele getallen $x$ , $x + 1$ , $x + 2$ en $x + 3$ .

Welke vergelijking kun je nu opschrijven?

Schrijf de vergelijking zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

(hint)

Vermenigvuldig eerst de twee kleinste getallen met elkaar, vermenigvuldig die uitkomst met het derde getal en vervolgens met het vierde getal.

Laat zien dat de uitkomst van c een kwadraat is.

(hint)

Ontbind de uitkomst van c in twee gelijke factoren. Teken daarvoor een vierkant van drie bij drie.