Punten in de ruimte

Net als in een plat vlak, kunnen we in de ruimte elk punt voorzien van coördinaten. We gebruiken dan drie coördinaatassen, die loodrecht op elkaar staan. Het snijpunt van de drie assen heet weer de oorsprong en heeft als coördinaten $(0,0,0)$ .

In het plaatje zie je hoe je het punt $(2,3,4)$ vindt: ga vanuit $(0,0,0)$ eerst $2$ naar voren, dan $3$ naar rechts en vervolgens $4$ naar boven.

De eerste coördinaat geeft aan hoeveel eenheden je vanuit $(0,0,0)$ naar voren of naar achteren gaat (naar voren positief, naar achteren negatief).
De tweede coördinaat geeft aan hoeveel eenheden je vanuit $(0,0,0)$ opzij gaat (naar rechts positief, naar links negatief).
De derde coördinaat geeft aan hoeveel eenheden je vanuit $(0,0,0)$ naar boven of beneden gaat (naar boven positief, naar beneden negatief).

Punten in de ruimte waarvan alle coördinaten geheel zijn, noemen we roosterpunten. (Je zou je kunnen voorstellen dat we - net als in het platte vlak - in de ruimte een rooster tekenen.)

Welke zes roosterpunten grenzen aan het roosterpunt $(2,3,4)$ ?

Geef in het assenstelsel op je werkblad het punt $(3,3,2 \frac{1}{2})$ aan. Laat zien hoe je dat gedaan hebt.

Schrijf op je werkblad ook bij de overige vijf hoekpunten de coördinaten.

Van één van de ribben is het midden aangegeven: $(0,2,2)$ .

Er zijn nog drie middens aangegeven.

Schrijf op je werkblad de coördinaten erbij.

In een assenstelsel is de kubus $O A B C . H E F G$ getekend. De ribbe van de kubus is $4$ . Bij drie hoekpunten zijn de coördinaten al vermeld.

Schrijf op je werkblad ook bij de overige hoekpunten de coördinaten.

$P$ is het midden van binnendiagonaal $A G$ .

$Q$ is het midden van buitendiagonaal $B G$ .

$R$ is het midden van $P Q$ .

Geef op je werkblad deze drie punten aan. Schrijf de juiste letters erbij.

De coördinaten van punt $P$ kun je als volgt berekenen. Vanuit punt $A$ $(4,0,0)$ kom je in punt $G$ $(0,4,4)$ door $4$ stappen naar achteren, $4$ stappen naar rechts en $4$ stappen naar boven te gaan.

Punt $P$ krijg je dus door vanuit punt $A$ $(4,0,0)$ $2$ stappen naar achteren, $2$ stappen naar rechts en $2$ stappen naar boven te gaan. Dus punt $P$ heeft coördinaten $(2,2,2)$ .

Bereken de coördinaten van $Q$ en $R$ .

In een assenstelsel is de de vierzijdige piramide $A B C D$ . $T$ getekend. Grondvlak $A B C D$ is een vierkant met zijde $6.$ Ook de hoogte van de piramide is $6.$

De coördinaten van punt $A$ zijn $(3, ‐ 3,0)$ ; je moet vanuit $O$ $(0,0,0)$ namelijk drie eenheden naar voren, drie eenheden naar links en $0$ eenheden naar boven om in $A$ te komen.

Schrijf op je werkblad ook bij de overige hoekpunten de coördinaten.

$P$ is het midden van $A T$ , $Q$ is het midden van $B T$ , $R$ is het midden van $C T$ en $S$ is het midden van $D T$ .

Geef op je werkblad de punten $P$ , $Q$ , $R$ en $S$ aan.

Bereken de coördinaten van de punten $P$ , $Q$ , $R$ en $S$ .

Vijf punten: $O$ $(0,0,0)$ , $A$ $(4,0,0)$ , $B$ $(4,4,0)$ , $C$ $(0,4,0)$ en $T$ $(2,2,3)$ .

Geef de punten $A$ , $B$ , $C$ en $T$ aan in het assenstelsel op het werkblad.

Teken de piramide $O A B C$ . $T$ .

Wat zijn de coördinaten van het snijpunt van de diagonalen $O B$ en $A C$ ?

De punten $P$ en $Q$ verdelen de ribbe $B T$ in drie even grote stukken.

Bereken de coördinaten van de punten $P$ en $Q$ .

Pythagoras in de ruimte

Ook in de ruimte kunnen we afstanden tussen roosterpunten berekenen. Als eenheid van afstand nemen we weer de afstand tussen twee roosterpunten die direct aan elkaar grenzen.

Voorbeeld

De afstand tussen de punten $A$ $(2,3,4)$ en $B$ $(2,3,5)$ is $1,$ omdat $B$ recht boven $A$ ligt, één eenheid van $A$ verwijderd.

In het assenstelsel is balk $A B C D$ . $E F G H$ getekend. De ribben van de balk zijn evenwijdig met de assen.

$A$ is het punt $(2, ‐ 1,3)$ en $G$ is het punt $(‐ 1,3,5)$ .

Schrijf op je werkblad de coördinaten bij de overige hoekpunten.

Wat is de afstand tussen de hoekpunten $A$ en $B$ ?

Wat zijn dan de afmetingen van de balk (dwz. lengte, breedte en hoogte)?

Wat is de afstand tussen de hoekpunten $A$ en $G$ ? (Gebruik de stelling van Pythagoras.)

Als je de afstand tussen $A$ $(‐ 4, ‐ 2,0)$ en $B$ $(1,6,3)$ wilt berekenen, is het handig om een balk te tekenen met de ribben evenwijdig aan de assen en waarvan de hoekpunten $A$ en $B$ diagonaal tegenover elkaar liggen.

$A$ is het hoekpunt links-onder-achter en $B$ is het hoekpunt rechts-boven-voor.

Wat worden de afmetingen van de balk?

Wat is dus de afstand tussen de punten $(‐ 4, ‐ 2,0)$ en $(1,6,3)$ ?

Bereken op dezelfde manier de afstand tussen de punten $(3, ‐ 2,5)$ en $(7,3,1)$ .

Teken in het assenstelsel op je werkblad de balk $O A B C$ . $H E F G$ , waarbij $A$ $(4,0,0)$ , $C$ $(0,3,0)$ en $H$ $(0,0,3)$ .

Schrijf op je werkblad de coördinaten bij de hoekpunten van de balk.

$M$ is het midden van ribbe $E H$ .

Geef de plaats van $M$ aan.

Wat zijn de coördinaten van $M$ ?

$P$ ligt op de diagonaal $A F$ , zodat $A P$ twee keer zo lang is als $P F$ .

Geef $P$ aan.

Bereken de coördinaten van $P$ .

Teken driehoek $C M P$ in de balk.

Bereken de lengte van $C P$ , $C M$ en $M P$ .

Teken driehoek $C M P$ op ware grootte.

Is driehoek $C M P$ gelijkbenig?

10s

Een punt noemen we nuldimensionaal, een lijnstuk eendimensionaal, een vierkant tweedimensionaal en een kubus driedimensionaal. Maar waarom zouden we hier stoppen? Niets weerhoudt ons ervan om na het vierkant in twee dimensie en de kubus in drie dimensies het dan volgende een hyperkubus te noemen, behorend tot de vierdimensionale wereld.

Bekijk de hyperkubus op de internetpagina van de Wageningse Methode.

Hieronder zijn een vierkant en een kubus getekend.

Merk op: de kubus ontstaat door in een driedimensionaal assenstelsel een vierkant op hoogte $0$ en een vierkant op hoogte $1$ te tekenen en de "overeenkomstige" hoekpunten van beide vierkanten te verbinden. "Overeenkomstige" hoekpunten zijn hoekpunten die in precies één coördinaat verschillen.

Vanuit twee dimensies (het vierkant) zijn we opgestegen naar drie dimensies (de kubus). Met dezelfde truc kunnen we een hyperkubus maken.

We tekenen twee kubussen. Aan de coördinaten van de hoekpunten van de eerste kubus voegen we een extra $0$ toe en aan de coördinaten van de hoekpunten van de tweede kubus een extra $1.$ Een hoekpunt van de hyperkubus heeft dus uit vier coördinaten, bijvoorbeeld $(1,0,0,1)$ . We verbinden nu de "overeenkomstige" hoekpunten van de twee kubussen. Zo ontstaat de getekende hyperkubus.

Schrijf op je werkblad de coördinaten bij de hoekpunten.

Hoeveel hoekpunten en ribben heeft een hyperkubus?

Kun je op een hyperkubus een wandeling langs de ribben maken die eindigt in zijn beginpunt en elk ander hoekpunt precies één keer aandoet?