21.5 Rechthoeken met dezelfde oppervlakte >

In de vorige eeuw gingen veel avonturiers naar Amerika om daar goud te zoeken.
Peter Johnson was eigenaar van een gebied waar wel eens goud gevonden was. In plaats van zelf te zoeken, verhuurde hij zijn grond aan de avonturiers. Als huur moesten ze hem de helft van het goud geven dat ze zouden vinden. Om ervoor te zorgen dat iedere goudzoeker evenveel grond kreeg, gaf hij ieder een stuk touw van 100 meter en vier paaltjes om daarmee een rechthoekig stuk grond af te zetten.

Teken op vierkantjespapier rechthoeken die, op schaal, een omtrek van 100 meter hebben.

De methode van Johnson was niet waterdicht: er zijn een heleboel rechthoeken met een omtrek van 100 m. De goudzoekers kregen niet allemaal evenveel grond.

Neem de tabel over en vul hem in (de omtrek is steeds 100 m).

lengte rechthoek (in m)	40	30	25
breedte rechthoek (in m)				15	5	2
oppervlakte (in m²)

Welke rechthoek heeft de grootste oppervlakte?

We bekijken alle mogelijke rechthoeken met een omtrek van 100. De hoogte van zo'n rechthoek noemen we $h$ en de breedte $b$ . Er is een verband tussen $h$ en $b$ . Dat verband kunnen we in een formule uitdrukken.

Maak de formule af: $h + b = .....$

In het assenstelsel zijn twee rechthoeken getekend, waarvoor geldt: $h + b = 10$ . Dat is zó gedaan dat twee zijden van de rechthoeken op de assen liggen. Drie van de vier hoekpunten liggen dan op de assen. We bekijken de plaatsen van de vierde hoekpunten.

Teken in het assenstelsel op het werkblad nog enkele rechthoeken bij de formule. Doe het steeds zó, dat twee zijden op de assen liggen.

Wat valt je op aan de ligging van de vierde hoekpunten?

We laten nu in de figuur van de vorige opgave de roosterlijnen weg. Joris heeft een willekeurig punt $Q$ op de lijn $A B$ gekozen en daarbij rechthoek $O P Q R$ getekend (met $P$ en $R$ op de assen).

In de tekening zijn twee lijnstukken even lang als $O P$ en ook zijn twee lijnstukken even lang als $O R$ .

Welke en waarom?

Leg nu uit waarom de omtrek van rechthoek $O P Q R$ gelijk is aan de lengte van $O A$ en de lengte van $O B$ samen.

Als je alle rechthoeken (met twee zijden op de assen) zou tekenen met omtrek 16, dan zouden de rechterbovenhoekpunten ook op één lijn komen.

Teken die lijn in een assenstelsel.

Welke formule is er in dit geval voor het verband tussen $b$ en $h$ ?

We bekijken nu rechthoeken waarvan de breedte twee keer de hoogte is. We gaan zulke rechthoeken in een rooster tekenen zó, dat twee zijden op de assen komen. In het rooster zijn er twee getekend: één met breedte 4 en hoogte 2 en één met breedte 5 en hoogte $2 \frac{1}{2}$ .

Teken nog enkele rechthoeken waarvan de breedte twee keer de hoogte is.

Alle rechthoeken die je in c getekend hebt, hebben het rechterbovenhoekpunt op eenzelfde lijn.

Teken deze lijn in het rooster. Welke formule is er voor het verband tussen $b$ en $h$ ?

In het assenstelsel is de lijn getekend bij de formule $h + b = 9$ en de lijn bij de formule $h = 1 \frac{1}{4} b$ .
Bekijk de rechthoek waarvan het rechterbovenhoekpunt het snijpunt van de twee lijnen is.

Bereken de omtrek van de rechthoek met behulp van de formule $h + b = 9$ .

Bereken de verhouding van de hoogte en de breedte van de rechthoek met de formule $h = 1 \frac{1}{4} b$ .

We gaan de hoogte en de breedte van de rechthoek berekenen. Voor die rechthoek geldt:
$h + b = 9$ en $h = 1 \frac{1}{4} b$ .
Dus: $1 \frac{1}{4} b + b = 9$ .

Bereken nu $b$ .
Hoe hoog en hoe breed is de rechthoek?

We tekenen weer rechthoeken in een assenstelsel met twee zijden op de assen. We gaan de rechthoek zoeken waarvan de hoogte twee keer de breedte is en die omtrek 16 heeft.
De rechterbovenhoekpunten van alle rechthoeken met omtrek 16 liggen op eenzelfde lijn.

Teken die lijn in het assenstelsel.

De rechterbovenhoekpunten van alle rechthoeken waarvan de hoogte twee keer de breedte is liggen ook op eenzelfde lijn.

Teken die lijn in hetzelfde assenstelsel.

Teken nu de gezochte rechthoek.

Welke twee formules gelden voor $h$ en $b$ ?

Bereken met de formules uit d de waarden van $h$ en $b$ van de gezochte rechthoek.

In het plaatje is $O A = O B = a$ .

We bekijken alle rechthoeken met zijden op de lijnstukken $O A$ en $O B$ en een hoekpunt op lijnstuk $A B$ .

Wat is de omtrek van deze rechthoeken?

In het plaatje is het vierkant en een willekeurige andere rechthoek met bovenstaande eigenschappen getekend.

Hoe zie je dat de oppervlakte van het vierkant groter is dan de oppervlakte van de rechthoek?

Conclusie: van alle rechthoeken met eenzelfde omtrek heeft het vierkant de grootste oppervlakte.