21.8  Extra opgaven
1

Bekijk de plattegrond van een kruising van twee wegen. De wegen kruisen elkaar niet recht. De ene weg is 8 m breed en de andere 10 m.
Jaap moet van punt A naar punt C en loopt via B . In totaal legt hij 27 m af.

Bereken de stukken A B en B C .

(hint)

Tip: noem één van beide stukken x en stel een vergelijking in x op door de oppervlakte van het parallellogram op twee manieren te berekenen.

2

Het trapezium A B C D heeft twee rechte hoeken. A D = D C = 3 en A B = 6 .
S is het snijpunt van de diagonalen. Door de diagonalen wordt het trapezium in vier driehoeken verdeeld.

Bereken de oppervlakte van elk van de vier driehoeken.

3

A B D C is een trapezium. De lijnen C F en D B zijn evenwijdig, evenals de lijnen D E en C A . Op die manier zijn de parallellogrammen A E D C en F B D C ontstaan.

a

Leg uit dat de twee parallellogrammen dezelfde oppervlakte hebben.

G is het snijpunt van C F en D E .

b

Leg uit dat trapezium A E G C (1) dezelfde oppervlakte heeft als trapezium F B D G (2).

4

De twee gekleurde rechthoeken binnen de grote rechthoek hiernaast hebben dezelfde oppervlakte.

Leg dat uit.

5

Bereken de oppervlakte van de driehoek met zijden 16, 17 en 17.

6

Bereken de oppervlakte van een regelmatige driehoek met zijden van lengte 4. (Laat wortels in je antwoord staan.)

7

Het trapezium heeft hoogte 4. De evenwijdige zijden zijn 2 en 6 lang.

Bereken de oppervlakte.

8

Waarschijnlijk heb je in de vorige opgave het trapezium in twee driehoeken verdeeld.
Het kan ook anders. Je kunt het trapezium zien als deel van een driehoek door er een driehoekje op te zetten (verleng de opstaande zijden); zie het plaatje.
Noem de hoogte daarvan h .

a

Toon aan: 3 h = h + 4 .

b

Bereken h en de oppervlakte van het kleine driehoekje.

c

Hoeveel keer zo groot is de oppervlakte van de grote driehoek?
Hoe groot is de oppervlakte van het trapezium?

9

Bereken de oppervlakten van de twee driehoeken.

10

Een regelmatige piramide heeft hoogte 4 dm en het grondvlak is 3 bij 3 dm. Adil wil een uitslag van karton maken van de piramide.

Bereken hoeveel karton hij daarvoor nodig heeft, in cm2.

11

In een balk met ribben van 9, 12 en 40 is een trapezium getekend. Zie het plaatje. De kortste van de twee evenwijdige zijden van het trapezium laat van de ribbe twee stukken van respectievelijk lengte 8 en 20 over.

a

Hoe lang zijn de andere drie zijden van het trapezium?

b

Bereken de oppervlakte van het trapezium.

12

De zijde A B van driehoek A B C is met puntjes in zes gelijke stukken verdeeld en de zijde A C in vier gelijke stukken. Met behulp van die puntjes zijn driehoeken getekend. Zo is driehoek A B C in vieren gedeeld.
De oppervlakte van driehoek A B C is 48.

Bereken de oppervlakte van elk van de vier stukken.

13

In een rooster zijn vijf figuren getekend. De oppervlakte van een hokje is 1.
Bepaal van elke figuur de oppervlakte.

14

In driehoek A B C geldt: A B = 14 , B C = 15 en de oppervlakte van de driehoek is 84.

Bereken C D , B D , A D en A C .

15

In de cirkel is een zo groot mogelijk vierkant getekend. De cirkel heeft straal 3.

Bereken de oppervlakte van het gekleurde deel in één decimaal nauwkeurig.

16

Vier lijnen sluiten een parallellogram in. Zie het plaatje voor de afmetingen.

Bereken de andere zijde van het parallellogram.

17

Van een vierkant met zijden van 4 cm zijn bij twee hoeken kwartcirkels afgeknipt, met straal 2 cm.

Bereken de oppervlakte van deze figuur in mm2.

18

Door een willekeurig punt binnen een parallellogram met de hoekpunten te verbinden, verdeel je het parallellogram in vier driehoeken.

Laat zien dat de oppervlakte van de twee witte driehoeken samen de helft van de oppervlakte van het parallellogram is. (Dus de twee witte driehoeken hebben samen dezelfde oppervlakte als de twee gekleurde.)

19

Om een parallellogram met zijden van 4 en 5 cm is een strook getekend van 1 cm breed. Als de hoeken van het parallellogram niet vast liggen, is het parallelogram ook niet star (je kunt het van vorm laten veranderen). De oppervlakte van de strook er omheen verandert dan echter niet.

Hoe groot is die oppervlakte? (Geef een exact antwoord, met daarin het getal π .)

20

In het plaatje is O A = O B = a . We bekijken alle rechthoeken met twee zijden op de lijnstukken O A en O B en een hoekpunt op lijnstuk A B .
We hebben gezien dat de omtrek van deze rechthoeken gelijk is aan 2 a .
Neem aan dat de getekende rechthoek breedte x heeft.

a

Toon aan dat de oppervlakte van de rechthoek gelijk is aan: x ( a x ) .

b

Laat zien dat de uitdrukking in a te schrijven is als ( x 1 2 a ) 2 + 1 4 a 2 .

c

Leg uit dat ( x 1 2 a ) 2 + 1 4 a 2 maximaal 1 4 a 2 is.
Voor welke waarde van x wordt die waarde aangenomen?

Conclusie: van alle rechthoeken met eenzelfde omtrek heeft het vierkant de grootste oppervlakte.