21.8  Extra opgaven
1

Noem het vierde hoekpunt D en noem A B = x , dan B C = 27 x .
Oppervlakte A B C D = ( 27 x ) 8 , maar ook: oppervlakte A B C D = x 10
Dus 10 x = ( 27 x ) 8
10 x = 216 8 x
18 x = 216
x = 216 18 = 12
Dus x = A B = 12  m en B C = 27 12 = 15  m.

2

Driehoek D C S is gelijkvormig met driehoek B A S , vergrotingsfactor = 2 .
Dus S Y = 2 S X , dus S X = 1 en S Y = 2 .
opp. driehoek C D S : 1 2 3 1 = 1 1 2
opp. driehoek A B S : 1 2 2 6 = 6
opp. driehoek A D S : 1 2 3 3 1 1 2 = 3
opp. driehoek B C S : 1 2 ( 3 + 6 ) 3 1 1 2 6 3 = 3

3
a

Als je voor beide parallellogrammen als basis C D neemt, dan hebben ze dezelfde hoogte.

b

Als je bij beide driehoek G E F weghaalt houdt je twee trapezia met dezelfde oppervlakte over.

4

1 , 3 en 5 samen hebben dezelfde oppervlakte als 2 , 4 en 6 samen. (beide de helft van een rechthoek). Verder hebben 5 en 6 dezelfde oppervlakte evenals 4 en 4 (zelfde argument).

5

x = 17 2 8 2 = 15
Oppervlakte driehoek = 1 2 16 15 = 120

6

h = 4 2 2 2 = 12
Oppervlakte driehoek = 1 2 4 12 = 2 12

7

Verdeel het trapezium in twee driehoeken. De kleine driehoek heeft oppervlakte 1 2 2 4 = 4 en de grote heeft oppervlakte 1 2 6 4 = 12 .
De oppervlakte van het trapezium is 12 + 4 = 16 .

8
a

De vergrotingsfactor is 3 , (vergelijk de zijden van 2 en 6 ), de hoogte van de grote driehoek is dus 3 keer de hoogte van de kleine.
Dus: 3 h = h + 4 .

b

Dus 2 h = 4 h = 2 , dus de kleine driehoek heeft oppervlakte 2 .

c

De oppervlakte van de grote driehoek is 9 keer de oppervlakte van de kleine, dus 18 .
De oppervlakte van het trapezium is dus 16 .

9

Neem aan dat de kleine driehoek hoogte h heeft, dan heeft de grote driehoek hoogte 20 12 h = 1 2 3 h , dus 2 2 3 h = 4 , dus h = 1 1 2 .
De kleine driehoek heeft oppervlakte 1 2 1 1 2 12 = 9 en de grote 1 2 2 1 2 20 = 25 .

10

Stelling van Pythagoras in de oker driehoek:
h = ( 1 1 2 ) 2 + 4 2 = 18 1 4
Een zijkant heeft oppervlakte 1 2 3 18 1 4 = 1 1 2 18 1 4
Totaal is er 4 1 1 2 18 1 4 + 3 3 = 6 18 1 4 + 9  dm2 karton nodig.

11
a

De zijde evenwijdig met die van 40 is 12 . De diagonalen in het linker en rechter zijvlak van de balk zijn 12 2 + 9 2 = 15 .
De andere zijden van het trapezium zijn 15 2 + 20 2 = 25 en 15 2 + 8 2 = 17 .

b

Oppervlakte trapezium = 1 2 12 15 + 1 2 40 15 = 390

12

De driehoeken 1 en 2 samen zijn 2 6 van driehoek A B C , dus samen 16.
Driehoek 1 is 1 4 16 = 4 en driehoek 2 is 3 4 16 = 12 .
Driehoek 3 en 4 zijn samen 32.
Driehoek 3 is 3 4 32 = 24 en driehoek 4 is 8.

13

Linksboven: 12 ; rechtsboven: 24
linksmidden: 9 ; rechtsonder: 9
linksonder: 18

14

C D = 2 84 : 14 = 12
B D = 15 2 12 2 = 9 , A D = 14 9 = 5
A C = 5 2 + 12 2 = 13

15

De oppervlakte van het witte vierkant is het halve product van de diagonalen = 1 2 6 6 = 18 .
De oppervlakte van het gekleurde deel is: π 3 2 6 2 : 2 = 9 π 18 = 10,3 .

16

De oppervlakte van het parallellogram is 25 30 = 750 .
Noem de lengte van die zijde x , dan: x 20 = 750 , dus x = 37 1 2 .

17

Oppervlakte kwartcirkel = 1 4 π 2 2 = π
Oppervlakte figuur = 4 2 2 π = 9,72  cm2

18

Zie plaatje: driehoeken met gelijke tekens hebben gelijke oppervlakte.

19

De vier rechthoekige stukken hebben oppervlakte 2 4 1 + 2 5 1 = 18 .
De vier lichtoker stukken vormen samen een cirkel met straal 1 , dus oppervlakte = π . De oppervlakte van de strook is dus 18 + π  cm2.

20
a

Omdat B P = P Q = x , geldt: O P = a x .

b

Als je in beide vormen de haakjes wegwerkt, krijg je in beide gevallen a x x 2 .

c

( x 1 2 a ) 2 + 1 4 a 2 is voor elke x groter of gelijk aan 1 4 a 2 , omdat ( x 1 2 a ) 2 voor elke x kleiner of gelijk aan 0 is (vanwege het kwadraat).
Die minimale waarde 1 4 a 2 kun je krijgen als ( x 1 2 a ) 2 = 0 en dat is als x = 1 2 a .