De 30-60-90-graden driehoek

Driehoek $A B C$ heeft hoeken van $30$ , $60$ en $90$ graden. Met nog zo’n exemplaar, kun je een regelmatige driehoek $A D C$ maken.
We noemen een 30 ‐ 60 ‐ 90 -graden driehoek daarom ook wel een halve regelmatige driehoek.

Neem aan dat $A C$ lengte $2$ heeft.

Wat is dan de lengte van $A B$ ? Waarom?

Bereken ook de exacte lengte van $B C$ , schrijf je antwoord met een $\sqrt{}$ -teken.

We bekijken nu een $30 ‐ 60 ‐ 90$ graden driehoek waarvan de korte rechthoekszijde $8$ is.
Deze driehoek is een vergroting van de driehoek hierboven.

Wat zijn dus de lengtes van de andere zijden?
Gebruik gelijkvormigheid.

Je kunt de lange rechthoekszijde ook met de stelling van Pythagoras uitrekenen. Je vindt dan: $\sqrt{16^{2} - 8^{2}} = \sqrt{192}$ .

Laat zonder rekenmachine zien dat dit antwoord hetzelfde is als dat in het vorige onderdeel.

De 45-45-90-graden driehoek

Driehoek $A B C$ heeft hoeken van $45$ , $45$ en $90$ graden. Met nog zo’n exemplaar, kun je een vierkant leggen. We noemen een 45 ‐ 45 ‐ 90 -graden driehoek daarom ook wel een half vierkant.

Neem aan dat $A B = 1$ .

Hoe weet je zeker dat $A C$ ook $1$ is?
Bereken $B C$ exact.

Van een gelijkbenige rechthoekige driehoek is een rechthoekszijde $10$ . De andere rechthoekszijde is dan ook $10$ . De schuine zijde kun je op twee manieren uitrekenen: met gelijkvormigheid en met de stelling van Pythagoras.

Laat zien dat de antwoorden die je krijgt, hetzelfde zijn.

In een $30 ‐ 60 ‐ 90$ -graden-driehoek verhouden de lengten van de zijden zich als $1 : \sqrt{3} : 2$ .

In een $45 ‐ 45 ‐ 90$ -graden-driehoek verhouden de lengten van de zijden zich als $1 : 1 : \sqrt{2}$ .

Werken met de speciale rechthoekige driehoeken

Bereken de andere zijden van $30 ‐ 60 ‐ 90$ -graden-driehoek exact als (vereenvoudig de wortelvormen):

de schuine zijde $10$ is,

de lange rechthoekszijde $6$ is,

de lange rechthoekszijde $2$ is,

de korte rechthoekszijde $3$ is.

In driehoek $A B C$ is $A C = 6$ cm, $∠ C A B = 60 °$ en $∠ C B A = 45 °$ .

Teken driehoek $A B C$ .
Schrijf op hoe je dat gedaan hebt.

Bereken de andere zijden van driehoek $A B C$ . Vereenvoudig de wortelvormen.

(hint)

Teken de hoogtelijn uit

C

Het volgende staat in hoofdstuk 24 Goniometrie.

$\sin (α) = \frac{overstaande rechthoekszijde}{schuine zijde} = \frac{a}{c}$

$\cos (α) = \frac{aanliggende rechthoekszijde}{schuine zijde} = \frac{b}{c}$

$\tan (α) = \frac{overstaande rechthoekszijde}{aanliggende rechthoekszijde zijde} = \frac{a}{b}$

Neem in driehoek $A B C$ hierboven $a = 1$ en $c = 2$ .

Wat is dan $b$ exact en hoe groot zijn de hoeken $α$ en $β$ exact? Verklaar je antwoorden.

Bepaal $sin (30 °)$ , $\cos (30 °)$ en $\tan (30 °)$ exact.
Vereenvoudig zo nodig de wortelvormen.

Bepaal $sin(60 °)$ , $cos(60 °)$ en $tan(60 °)$ exact.
Vereenvoudig zo nodig de wortelvormen.

Neem nu in driehoek $A B C$ hierboven voor $a$ en $b$ beide $1$ .

Wat is dan $c$ exact en hoe groot zijn de hoeken $α$ en $β$ exact? Verklaar je antwoorden.

Bepaal $\sin (45 °)$ , $\cos (45 °)$ en $\tan (45 °)$ exact.
Vereenvoudig zo nodig de wortelvormen.

Opmerking:

We vatten de resultaten van de vorige opgave samen in een tabel.

Vierkant $A B C D$ heeft zijden van lengte 6. De punten $P$ en $Q$ liggen op de zijden van het vierkant zó, dat de hoeken $A B P$ en $Q B C$ beide $30 °$ zijn.

Bereken $A P$ en $B P$ exact. Vereenvoudig de wortels.

Bereken de oppervlakte van de gekleurde vlieger exact.
Vereenvoudig de wortels.

$R$ ligt op zijde $C D$ zó, dat $P R$ en $B Q$ loodrecht op elkaar staan.

Bereken $Q R$ exact. Vereenvoudig de wortels.