De Griekse geleerde Eratosthenes (ongeveer 250 v. Chr.) was bibliothecaris van het Museum te Alexandrië. Hij was astronoom, geograaf, wiskundige, chronoloog en filoloog. Hij was de eerste die een handboek der algemene aardrijkskunde opstelde (Geographica). Hij slaagde erin om de omtrek van de aarde te bepalen.
|
|
|
|
In Syene (tegenwoordig Aswan), was een diepe put. Eratosthenes wist dat de zonnestralen, als de zon op zijn hoogst stond, de bodem van de put bereikten. Het zonlicht viel daar op dat moment loodrecht op het aardoppervlak. In Alexandrië, waar Eratosthenes verbleef, kwam de zon die dag niet zo hoog. Daar viel het zonlicht op hetzelfde moment onder een hoek van op het aardoppervlak. De afstand tussen Alexandrië en Syene was bekend: ongeveer stadiën (dat is ongeveer km).
In de tekening is Alexandrië, is Syene en is het middelpunt van de aarde. (De tekening is niet op schaal.)
Bereken .
Hieruit concludeerde Eratosthenes dat de afstand van Alexandrië tot Syene het vijftigste deel van de omtrek van de aarde was.
Verklaar hoe hij tot die conclusie kwam.
De gegevens die hij gebruikte waren niet erg betrouwbaar, vanwege de gebrekkige meetinstrumenten uit die tijd. Toch wijkt de omtrek die Eratosthenes berekende nog geen km af van de werkelijke omtrek van de aarde.
Aristarchos van Samos (ongeveer 265 v. Chr.) leefde ook in Alexandrië. Hij ontwierp
een planetenstelsel waarin de aarde om haar as en om de zon wentelde. Hij schreef
een werk over de afstanden en de grootten van de zon en de maan.
Je ziet een plaatje van de aarde, de zon en de maan, op het moment dat de maan in
het eerste kwartier staat.
Dan is hoek
recht. Door de hoek
te meten, kon Aristarchos de verhouding tussen de afstand aarde-maan en de afstand
aarde-zon bepalen. Voor hoek
vond hij
.
Stel de afstand aarde-maan
.
Bereken de afstand aarde-zon.
Aristarchos vond een veel te kleine waarde, omdat zijn hoekmeting niet nauwkeurig
genoeg was. In werkelijkheid is de afstand aarde-zon keer zo groot als de afstand aarde-maan.
De gemiddelde afstand aarde-zon is km en de gemiddelde afstand aarde-maan is km.
Hoe groot is hoek dus in werkelijkheid (in twee decimalen)?
Welke verhouding vind je met
voor de afstanden aarde-zon en aarde-maan?
En met
?
Een klein verschil in de hoek geeft een groot verschil in de verhouding van de afstanden!
De afstand van de middelpunten van de aarde en de maan is te berekenen door twee hoeken te meten, op hetzelfde moment vanuit twee verschillende plaatsen op aarde. In de tekening zie je hoe dat gaat. In ziet een waarnemer de maan recht boven zich. Op dat moment ziet een andere waarnemer in de maan aan de horizon. . We stellen de straal van de aarde .
Bereken de afstand aarde-maan.
Claudius Ptolemaios (ongeveer 100 n. Chr.) was een Grieks astronoom, geograaf en
wiskundige. Zijn Syntaxis mathematica (bekend als Almagest) was een handboek voor
astronomen. Hij schreef ook een aardrijkskundig werk: Geographia. Hij berekende dat
de afstand aarde-maan keer zo groot was als de straal van de aarde. Een opmerkelijk nauwkeurig resultaat.
De omtrek van de aarde is (langs de evenaar gemeten) km.
Bereken met behulp van je antwoord op de vorige vraag de afstand aarde-maan.
Vanuit de aarde zie je de maan onder een hoek van . In het plaatje zie je een schets. is de waarnemer op aarde.
Hoe groot is de straal van de maan?
Bereken die door eerst voor de afstand aarde-maan (in de vorige opgave berekend) te nemen en daarna voor die afstand te nemen.
(Merk op dat het verschil tussen de twee antwoorden klein is.)
Je zou ook met dit plaatje kunnen werken. Neem voor de afstand aarde-maan.
Bereken met dit plaatje de straal van de maan.
Nu krijg je voor de straal van de maan een antwoord dat weinig verschilt van de twee
vorige antwoorden.
Hoewel de zon veel groter is dan de maan, zien ze er vanaf de aarde ongeveer even groot uit (dat wil zeggen: je ziet ze onder dezelfde hoek). Zie het plaatje.
Bereken de straal van de zon.
Ridder Roderick wil jonkvrouw Jacoba redden. Zij zit opgesloten in de toren van een kasteel. Haar venster is m boven de grond. De toren is omgeven door een gracht van m breed. De ridder heeft een ladder laten maken die vanaf de rand van de gracht precies tot aan het venster van zijn geliefde jonkvrouw reikt.
Bereken de lengte van de ladder exact en ook in één decimaal.
Bereken de hoek die de ladder met de grond maakt als Roderick zijn Jacoba bevrijdt.
Tussen de plaatsen en ligt een berg. Er komt een tunnel dwars door de berg van naar .
Twee ploegen beginnen elk aan een kant te graven. Om de precieze richting te bepalen
waarin ze moeten graven, is er een meetpunt uitgezet. Hoek is recht, is km van en km van verwijderd. Door hoek en hoek te berekenen, weten de tunnelbouwers in welke richting ze moeten graven.
Bereken die twee hoeken in graden nauwkeurig.
Kompel Caspar heeft zijn werk in de mijn gedaan en loopt door de gang naar de lift van de mijnschacht. De gang stijgt. Eerst loopt Caspar m onder een hoek van met een horizontaal vlak en daarna loopt hij m onder een hoek van .
Hoeveel meter is Caspar gestegen als hij de lift bereikt?
Een slinger van cm lang beweegt heen en weer. Hij wijkt maximaal cm van de ruststand uit.
Bereken de hoek α die de slinger beschrijft.
In het plaatje staat een driezijdig prisma. De grensvlakken zijn twee rechthoekige driehoeken en drie rechthoeken. , en .
Bereken de hoeken , en in graden nauwkeurig.
De balk in het plaatje is bij bij .
Bereken de hoek tussen een lichaamsdiagonaal en een verticale ribbe (aangegeven in de figuur).
Bereken de hoeken (in graden nauwkeurig) van de gelijkbenige driehoek waarvan de zijden , en zijn.
In een vierkant van bij zijn vier kwartcirkels getekend. De hoekpunten van het vierkant zijn de middelpunten
van die kwartcirkels.
In de ruimte tussen de cirkels past precies een vierkant. De zijden van de twee vierkanten
zijn evenwijdig.
(Hiernaast is dat getekend.)
Hoe lang is een zijde van het kleine vierkant?
De rechthoek is bij .
Bereken de hoek waaronder de diagonalen elkaar snijden in graden nauwkeurig.
Het grondvlak van de piramide van Chefren is vierkant met zijden van ongeveer m. De zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken. Zij maken hoeken van met het grondvlak; zie figuur 1.
|
|
|
|
|
|
Bereken de hoogte van de piramide.
Bereken de lengte van de kortste weg naar de top van de piramide; zie figuur 2.
Bereken de hoeken α en β van een zijvlak; zie figuur 3.
Bereken de lengte van een opstaande ribbe; zie figuur 4.
Bereken de hoek die een opstaande ribbe met het grondvlak maakt; zie figuur 4.
Sep heeft uit een stuk hout een kegel gedraaid. Het grondvlak van de kegel is een cirkel met een diameter van cm. De afstand van de top tot het grondvlak is, over het zijvlak (de mantel) gemeten, cm.
Bereken de hoek tussen het grondvlak en het zijvlak in graden nauwkeurig.
Bereken de hoogte van de kegel in mm nauwkeurig.
Egon staat recht tegenover het midden van een brug. Hij houdt een stok op ooghoogte, evenwijdig aan de brug. Als hij langs het linkereind van de stok kijkt, ziet hij de ene pijler van de brug. Langs het rechtereind ziet hij de andere pijler. De stok is meter lang. Egon houdt hem in het midden vast, cm voor zijn ogen. Uit de stadsgids weet Egon dat de overspanning tussen de twee pijlers meter is.
Hoe ver staat Egon van de brug af?
Maak zo nodig een schets.
In de middeleeuwen werd op soortgelijke wijze gemeten, zie het artikel in wikipedia
over de
"Jacobsstaf"
.
Naast een trap met vijf treden is er een schuine helling voor invaliden. De helling is meter lang en maakt een hoek van met de grond.
Bereken de hoogte van de trap.
De trap telt vijf treden.
Bereken hoe lang elke optrede is.
Bereken hoe lang elke aantrede is.
De diagonalen van een rechthoek snijden elkaar onder een hoek van . De korte zijde van de rechthoek is .
Bereken de lange zijde van de rechthoek in één decimaal.
Over een rivier zal een brug gebouwd worden. Daarom wil men precies de afstand weten. Een landmeter bepaalt de afstand , die is meter lang. Bij meet hij hoek , die is: . Hoek is recht.
Bereken de afstand van tot in dm nauwkeurig.
In de tekening is hoek recht en . Vanuit zijn naast nog zeven verbindingslijnstukken met lijn getekend: de hoek tussen twee opvolgende verbindingslijnstukken is steeds .
Bereken de lengte van het lijnstuk dat de verbindingslijnstukken 6 en 7 van de lijn afsnijden.
Op een bepaalde plaats op de grond zie je de top van een toren onder een hoek van met de grond. Als je vanuit meter in de richting van de toren bent gelopen, zie je de top van die toren onder
een hoek van .
Noem de hoogte van de toren meter.
Maak een tekening.
Toon aan:
( is een afronding).
Los de vergelijking uit het vorige onderdeel op in één decimaal.
Bij het bepalen van de afstand van tot het kasteel in het plaatje werd eerst bij een rechte hoek gemaakt. Daarna werd gekozen en gemeten. Tenslotte werd hoek bepaald.
De resultaten zijn:
cm en .
Bereken de afstand van tot het kasteel.
