26.4 Vergelijkingen van lijnen opstellen >

De richtingscoëfficiënt berekenen

Neem de tekening over en teken de lijn door de punten $P (0,‐1)$ en $Q (4,2)$ .

Deze lijn noemen we $p$ . Je kunt de richtingscoëfficiënt van $p$ nu niet zo maar uit de tekening aflezen.

Neem over en vul in:
Als ik van $P$ naar $Q$ ga, ga ik ... naar rechts en ... naar boven. Dus als ik 1 naar rechts ga, moet ik ... naar boven gaan om weer op lijn $p$ te komen, dus de richtingscoëfficiënt van $p$ is ... .

Geef een vergelijking van lijn $p$ .

Voorbeeld

Een lijn gaat door de punten $A (‐1,3)$ en $B (2,‐5)$ . De lijn daalt, dus de richtingscoëfficiënt is negatief. Als je van $A$ naar $B$ gaat, moet je 3 hokjes naar rechts en 8 hokjes naar beneden.
Dus de richtingscoëfficiënt is $‐ \frac{8}{3} = ‐2 \frac{2}{3}$ .

Het snijpunt met de y-as berekenen

Teken in een assenstelsel lijn $q$ door de punten $A (‐2,‐2)$ en $B (3,2)$ . Laat de assen lopen van $‐5$ tot en met 5.

Bepaal de richtingscoëfficiënt van lijn $q$ .

Er is dus een getal $b$ zodat $y = \frac{4}{5} x + b$ een vergelijking van lijn $q$ is. Het getal $b$ is de hoogte waarop de $y$ -as gesneden wordt. Dat is niet gemakkelijk af te lezen.
Je weet dat $(3,2)$ een punt van de lijn is. Dus als je voor $x$ het getal 3 invult, en voor $y$ het getal 2, moet je een gelijkheid krijgen.

Je hebt:	$y = \frac{4}{5} x + b$
Invullen het punt $(3,2)$	$2 = \frac{4}{5} \cdot 3 + b$
Vereenvoudigen	$2 = 2 \frac{2}{5} + b$
Oplossen	$‐ \frac{2}{5} = b$

Geef een vergelijking van $q$ .

In plaats van het punt $B (3,2)$ in te vullen, hadden we ook het punt $A (‐2,‐2)$ kunnen invullen in de vergelijking $y = \frac{4}{5} x + b$ .

Laat zien dat er voor $b$ weer $‐ \frac{2}{5}$ uit komt.

Een lijn gaat door de punten $A (‐1,3)$ en $B (3,‐3)$ .
Maak eerst een schets hoe de punten ten opzichte van elkaar liggen; zie figuur.
Als ik van $A$ naar $B$ ga, moet ik 4 naar rechts en 6 naar beneden; de richtingscoëfficiënt is dus negatief!
De richtingscoëfficiënt is $‐ \frac{6}{4} = ‐1 \frac{1}{2}$ .
Een vergelijking ziet er zo uit: $y = ‐1 \frac{1}{2} x + b$ .
De lijn gaat door $A$ , dus $(‐1,3)$ voldoet aan de vergelijking:

$y = ‐1 \frac{1}{2} x + b$
$3 = ‐1 \frac{1}{2} \cdot ‐1 + b$	Invullen $(‐1,3)$
$3 = 1 \frac{1}{2} + b$
$1 \frac{1}{2} = b$

Een vergelijking van de lijn is: $y = ‐1 \frac{1}{2} x + 1 \frac{1}{2}$ .

Geef van elk van de volgende lijnen een vergelijking: (teken zo nodig de lijn in een assenstelsel.)

$p$ : de lijn door $(1,1)$ en $(3,5)$
$q$ : de lijn door $(‐1,3)$ en $(7,‐1)$
$r$ : de lijn door $(3,2)$ en $(‐1,1)$
$s$ : de lijn door $(1,2)$ en $(5,2)$
$t$ : de lijn door $(2,5)$ en $(2,‐1)$

De laatste lijn heeft geen richtingscoëfficiënt. Als je de richtingscoëfficiënt probeert te bepalen volgens de methode in het voorbeeld op de vorige bladzijde, moet je delen door 0 en dat gaat niet.
$t$ is een verticale lijn; een vergelijking is: $x = 2$ , zie vorige paragraaf.

Een gasfles wordt gevuld. Als er 4 liter gas in de fles zit, weegt hij $9 \frac{1}{2}$ kg. Als de fles vol is, zit er 10 liter gas in en weegt hij $12 \frac{1}{2}$ kg.
De hoeveelheid gas in de fles noemen we $x$ en het totale gewicht $y$ .

Druk $y$ uit in $x$ .

De grafiek van het verband tussen $y$ (op de verticale as) en $x$ (op de horizontale as) is een rechte lijn.

Hoe groot is de richtingscoëfficiënt van de lijn en wat is de betekenis ervan?
Hoe groot is de tweede coördinaat van het snijpunt met de $y$ -as en wat is de betekenis ervan?

Op een gegeven moment weegt de fles nog $8 \frac{1}{4}$ kg.

Hoeveel liter gas zit er dan in de fles? Stel hierbij een vergelijking op in $x$ en los die op.

Peter en Ton zijn uitgegaan in Nijmegen. Ze nemen samen een taxi naar huis. De taxi rijdt via Bemmel naar Doornenburg.
In Bemmel aangekomen, dat is na 7 kilometer, stapt Ton uit. De meter staat dan op € 22,20. Bij aankomst in Doornenburg waar Peter uitstapt, staat de meter op € 47,40. De rit was in totaal 19 kilometer lang.
De afstand noemen we $k$ (in km) en het bedrag $B$ (in euro's).

Druk $B$ uit in $k$ .

Een kaars brandt regelmatig op. Na 42 minuten branden is hij nog 29 cm lang, na 75 minuten is hij nog 18 cm lang.
Het aantal minuten dat de kaars gebrand heeft noemen we $t$ en zijn lengte $l$ (in cm).

Geef een vergelijking waarin je $l$ uitdrukt in $t$ .

In sommige schoenen staan Engelse maten, in andere Franse. Dolf heeft schoenmaat 47, dat is de Franse maat. Dit komt overeen met de Engelse maat 13.
Er is een verband tussen de schoenmaat en de lengte van de voet. Hieronder zie je een tabel met het verband tussen de Engelse schoenmaat en de lengte van de voet in cm.

Engelse maat	5	7	9	11	13
lengte (cm)	25,4	27,1	28,8	30,5	32,2

De lengte van de voet (in cm) noemen we $l$ , de Engelse maat van de schoen $E$ .

Hoe zie je aan de tabel dat de stippen die je bij dit verband in het assenstelsel kunt tekenen op een rechte lijn liggen?

Neem het assenstelsel over en teken de stippen en de lijn door die stippen.

Bepaal de richtingscoëfficiënt van de lijn.

Druk $l$ uit in $E$ .

Bereken welke (Engelse) schoenmaat je moet hebben als je voet 28 cm lang is.

De Franse maat van een schoen noemen we $F$ . Het verband tussen de Engels maat $E$ en de Franse maat $F$ is ook lineair.
De Engelse maat 5 komt overeen met de Franse maat 38 en bij $E = 13$ hoort $F = 47$ .

Teken de lijn door deze twee punten. Zet de Engelse maat horizontaal $(0 \leq E \leq 15)$ en de Franse maat verticaal $(0 \leq F \leq 50)$ .

Bepaal de richtingscoëfficiënt van de lijn.

Druk $F$ uit in $E$ .

Bij KPN heb je vijf telefoonabonnementen: BelBudget, BelBasis, BelVrij Weekend, BelVrij AW en BelVrij Altijd. We beperken ons tot het Belbudget en BelBasis-abonnement.
Het abonnement per maand staat hieronder.
(Gegevens van www.kpn.com 01 mei 2009.)

Abonnement	Analoog	ISDN
BelBudget	€ 10,95	n.v.t
BelBasis	€ 19,-	€ 27,35
BelVrij Weekend	€ 17,-	€ 24,97
BelVrij AW	€ 23,-	€ 30,97
BelVrij Altijd	€ 31,-	€ 38,97

De belkosten in centen binnen de regio per minuut staan hieronder.

Abonnement	BelBudget (ct/min)	BelBasis (ct/min)
Overdag ma-vrij 08.00-19.00	9,76	3,06
‘s Avonds, ‘s nachts en weekend	4,41	1,38

Oma heeft een BelBudget-abonnement, met een analoge aansluiting. We gaan ervan uit dat ze 300 minuten per maand belt. In een bepaalde maand heeft ze 180 minuten overdag gebeld.

Hoeveel euro bedraagt de rekening (inclusief abonnement)?

$B$ is het bedrag (in euro’s) dat oma voor $x$ minuten overdag bellen moet betalen (inclusief abonnement bij 300 minuten bellen in totaal).

Druk $B$ uit in $x$ . Schrijf de uitdrukking zo eenvoudig mogelijk en zonder haakjes.

Oma overweegt om over te stappen naar een BelBasis-abonnement. Ze gaat ervan uit dat ze per maand 300 minuten blijft bellen.

Is dat een verstandige keuze? Licht duidelijk je antwoord toe.

De vader van Jarno wil een auto huren. Op internet heeft Jarno twee aanbiedingen voor hem gevonden.

Een Volkswagen Sharan kost € 77,- per dag, inclusief 100 km rijden. Elke extra km kost 22 cent.
Een Honda Stream kost € 74,- per dag, inclusief 100 km rijden. Elke extra kilometer kost 25 cent.

In de grafiek zijn de bedragen die je moet betalen uitgezet tegen het aantal extra kilometers voor beide aanbiedingen. We gaan het break even point berekenen: het aantal extra kilometers waarbij beide aanbiedingen even duur zijn. Dat ligt zo te zien ergens tussen de 75 en 125 km.
Noem het aantal extra km $a$ .

Stel een vergelijking op in $a$ en bereken hiermee het break even point.