26.7 Loodrecht snijden >

Hoofdstukken > Rechte lijnen

rc_$l$ $= \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

rc_$n$ $= ‐ \frac{1}{\frac{4}{3}} = ‐ \frac{3}{4}$

rc_$q$ $= ‐ \frac{1}{a}$

...

Het product is $‐1$ .

De $x$ -as met de $y$ -as.

rc_{$B C$} $= \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow$ rc_$k$ $= ‐4$
$b$ _$k$ $= ‐2 + 2 \cdot 4 = 6$
$k : y = ‐4 x + 6$

rc_{$A B$} $= ‐ \frac{6}{4} = ‐ \frac{3}{2}$ $\Rightarrow$ rc_$l$ $= \frac{2}{3}$
$b$ _$l$ $= 2 - \frac{2}{3} \cdot 4 = ‐ \frac{2}{3}$
$k : y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}$

rc_{$A C$} $= ‐ \frac{8}{4} = 2$ $\Rightarrow$ rc_$m$ $= ‐ \frac{1}{2}$
$b$ _$m$ $= 1$
$m : y = ‐ \frac{1}{2} x + 1$

Snijpunt $k$ en $m$ :
$‐4 x + 6 = ‐ \frac{1}{2} x + 1$
$5 = 3 \frac{1}{2} x$
$\frac{10}{7} = x$
$y = ‐4 \cdot \frac{10}{7} + 6 = \frac{2}{7}$ , snijpunt is $(\frac{10}{7}, \frac{2}{7})$

Controleren of $(\frac{10}{7}, \frac{2}{7})$ een punt op $l$ is:
$\frac{2}{7} = \frac{2}{3} \cdot \frac{10}{7} - \frac{2}{3} = \frac{2}{7}$ , klopt, dus de middelloodlijnen $k$ , $l$ en $m$ gaan door één punt.

rc_{$P Q$} $= ‐ \frac{2}{10} = ‐ \frac{1}{5}$ $\Rightarrow$ rc_$l$ $= 5$
$b$ _$l$ $= 4 - 2 \cdot 5 = ‐6$
$l : y = 5 x - 6$

rc_{$P R$} $= \frac{5}{7}$ $\Rightarrow$ rc_$k$ $= ‐ \frac{7}{5}$
$b$ _$k$ $= ‐3 + 5 \cdot \frac{7}{5} = 4$
$k : y = ‐ \frac{7}{5} x + 4$

rc_{$Q R$} $= ‐ \frac{7}{3}$ $\Rightarrow$ rc_$m$ $= \frac{3}{7}$
$b$ _$m$ $= ‐1 + 5 \cdot \frac{3}{7} = \frac{8}{7}$
$m : y = \frac{3}{7} x + \frac{8}{7}$

Snijpunt $l$ en $k$ :
$5 x - 6 = ‐ \frac{7}{5} x + 4$
$6 \frac{2}{5} x = 10$
$x = \frac{25}{16}$
$y = 5 \cdot \frac{25}{16} - 6 = \frac{29}{16}$ , snijpunt is $(\frac{25}{16}, \frac{29}{16})$

Controleren of $(\frac{25}{16}, \frac{29}{16})$ een punt op $m$ is:
$\frac{29}{16} = \frac{3}{7} \cdot \frac{25}{16} + \frac{8}{7} = \frac{29}{16}$ , klopt, dus de hoogtelijnen $k$ , $l$ en $m$ gaan door één punt.

Lijn $m$ heeft rc $= ‐ \frac{1}{3}$ en gaat door het punt $(1,0)$ , want het hoogteverschil op de verticale as is 5, dus het lengteverschil op de horizontale as is ook 5.
Dus $m : y = ‐ \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}$ .
Lijn $n$ heeft ook rc $= ‐ \frac{1}{3}$ en gaat door het punt $(11,0)$ . Dus $n : y = ‐ \frac{1}{3} x + 3 \frac{2}{3}$

De lijn loodrecht op $y = a x + b$ en door $(0, b)$ is $y = ‐ \frac{1}{a} x + b$ .
De afstand op de verticale as tussen $y = a x + b$ en $y = a x + c$ is $b - c$ of $c - b$ .
Dus de afstand op de horizontale as is ook $b - c$ of $c - b$ .
Snijpunt $x$ -as van de lijn $y = ‐ \frac{1}{a} x + b$ is: $0 = ‐ \frac{1}{a} x + b$ $\Rightarrow$ $x = a b$ .
Snijpunt van de lijn met de $x$ -as is: $a b + (b - c)$ of $a b + (c - b)$ .

rc $= ‐ \frac{1}{a}$ $\Rightarrow$ $y = ‐ \frac{1}{a} x + ?$
snijpunt $x$ -as $= a b + (b - c)$ $\Rightarrow$ $0 = ‐ \frac{1}{a} (a b + (b - c)) + ? = ‐ b - \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + ?$
$? = b + \frac{b}{a} - \frac{c}{a} = b + \frac{b - c}{a} = \frac{a b + b - c}{a}$
Vergelijking: $y = ‐ \frac{1}{a} x + \frac{a b + b - c}{a}$

rc $= ‐ \frac{1}{a}$ $\Rightarrow$ $y = ‐ \frac{1}{a} x + ?$
snijpunt $x$ -as $= a b + (c - b)$ $\Rightarrow$ $0 = ‐ \frac{1}{a} (a b + (c - b)) + ? = ‐ b - \frac{c}{a} + \frac{b}{a} + ?$
$? = b + \frac{c}{a} - \frac{b}{a} = b + \frac{c - b}{a} = \frac{a b + c - b}{a}$
Vergelijking: $y = ‐ \frac{1}{a} x + \frac{a b + c - b}{a}$

Conclusie:
De vier lijnen zijn:
$y = a x + b$
$y = a x + c$
$y = ‐ \frac{1}{a} x + b$
$y = ‐ \frac{1}{a} x + \frac{a b + b - c}{a}$ of $y = ‐ \frac{1}{a} x + \frac{a b + c - b}{a}$