27.2 Zijde en oppervlakte van een vierkant >

Wat is een wortel?

Hiernaast zie je vierkanten met zijde $1$ , $2$ , $3$ , $4$ en $5$ cm. Ze liggen met het linker-beneden-hoekpunt op elkaar. De rechter-boven-hoekpunten liggen op een rechte lijn.

Anne heeft een tabel gemaakt.

Neem de tabel over en vul hem in. Vul bij de pijlen ook in met hoevéél de oppervlakte toeneemt.

Als de zijde toeneemt, neemt de oppervlakte steeds sneller toe.

Nu draaien we het om en laten we de oppervlakte steeds met $1 {cm}^{2}$ toenemen. Dan neemt de zijde ook toe.

Neemt de zijde steeds sneller of steeds langzamer toe?

Getekend zijn twee vierkanten, met oppervlakte $8 {cm}^{2}$ en $16 {cm}^{2}$ (zoals boven met de rechter-boven-hoekpunten $A$ en $B$ op één diagonaal).
Jaap wil het vierkant met oppervlakte $12 {cm}^{2}$ erbij tekenen. Hij redeneert als volgt: “ $12$ ligt midden tussen $8$ en $16$ . Dus teken ik het vierkant met oppervlakte $12$ halverwege de vierkanten met oppervlakte $8$ en $16$ . Het rechter-boven-hoekpunt komt dus midden tussen $A$ en $B$ .”

Teken op het werkblad het vierkant van Jaap. Heeft hij het goed gedaan? Kun jij het beter? Hoe?

Bij een zijde $z$ hoort een oppervlakte $a$ en omgekeerd.

Neem de tabel over en vul hem verder in.
Voorbeeld: $1 \frac{1}{2} \cdot 1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$

Van een vierkant wordt de zijde $1$ groter gemaakt. De oppervlakte groeit dan met $1001$ .

Wat was de oppervlakte van dat vierkant?

Met $\sqrt{2 \frac{1}{4}}$ bedoelen we de zijde van een vierkant met oppervlakte $2 \frac{1}{4}$ . Je kunt dit getal zonder $\sqrt{}$ -teken schrijven: $\sqrt{2 \frac{1}{4}} = 1 \frac{1}{2}$ .

Voor een vierkant geldt:
Als de zijde $z$ is, dan is de oppervlakte $z^{2}$ .
Als de oppervlakte $a$ is, dan is de zijde $\sqrt{a}$ .

De getallen hieronder kun je ook zonder $\sqrt{}$ -teken schrijven. Doe dat, zonder rekenmachine.

$\sqrt{1}$

$\sqrt{100}$

$\sqrt{\frac{1}{100}}$

$\sqrt{10.000}$

$\sqrt{0,01}$

$\sqrt{0,0004}$

$\sqrt{36}$

$\sqrt{0,36}$

$\sqrt{121}$

$\sqrt{1,21}$

$\sqrt{0,09}$

$\sqrt{0,49}$

$\sqrt{\frac{1}{4}}$

$\sqrt{6 \frac{1}{4}}$

$\sqrt{\frac{9}{25}}$

$\sqrt{\frac{25}{9}}$

$\sqrt{a}$ wordt ook wel de vierkantswortel van $a$ genoemd. In het Engels spreekt men van “square root” $a$ (square = vierkant, root = wortel). Pas in de 17de eeuw heeft het teken $\sqrt{}$ algemeen ingang gevonden. Misschien is het teken afkomstig van de kleine letter $r$ (van het Latijnse woord radix, wat wortel betekent).

Wat is het kwadraat van $\sqrt{\frac{1}{4}}$ , van $\sqrt{1,96}$ , van $\sqrt{7}$ en van $\sqrt{1234}$ (zonder rekenmachine)?

Als een getal eindigt op het cijfer $3$ , dan eindigt het kwadraat van dat getal op het cijfer $9$ . Kun jij dat uitleggen?

Het cijfer waarop het kwadraat van een getal eindigt, hangt af van het cijfer waarop het getal zelf eindigt. In het vorige onderdeel heb je dat bekeken voor het cijfer $3$ .
Bekijk dat ook voor andere cijfers.

Waarom kan $98765432$ geen kwadraat zijn?

Kun je zonder je rekenmachine te gebruiken zeggen hoeveel cijfers achter de komma ${301,23}^{2}$ heeft?

Als een getal $4$ cijfers achter de komma heeft, hoeveel cijfers achter de komma heeft het kwadraat van dat getal dan? Leg dat uit.

Wat is het verband tussen het aantal decimalen van een getal en het aantal decimalen van het kwadraat van dat getal?

In het rooster is een vierkant getekend.

Bepaal de exacte oppervlakte van het vierkant door hokjes te tellen.

Meet de lengte van de zijde van het vierkant.

Kwadrateer het getal dat je in het vorige onderdeel hebt gemeten. Is het gemeten getal gelijk aan $\sqrt{5}$ ?

Het gemeten getal is een benadering van $\sqrt{5}$ . Op de rekenmachine vind je een nauwkeuriger benadering van $\sqrt{5}$ , (de meeste rekenmachines geven negen decimalen): $\sqrt{5} \approx 2,236067977$ .

$2,236067977$ is niet precies gelijk aan $\sqrt{5}$ . Leg dat uit met opgave 8.

$\sqrt{5}$ kun je niet zonder wortelteken schrijven. Wel weet je dat $\sqrt{5}$ tussen $2$ en $3$ ligt. Laten we eens onderzoeken of $\sqrt{5}$ groter of kleiner dan $2,3$ is.

Bereken met je rekenmachine ${2,3}^{2}$ .
Is $2,3$ te klein of te groot?

Neem over en vul het juiste teken in: <, > of =. Controleer je antwoord door te kwadrateren. De eerste is al als voorbeeld gedaan.

$\sqrt{3}$	>	$1,7$	want ${1,7}^{2} = 2,89 < 3$
$\sqrt{17}$	__	$4,1$	want _____________
$\sqrt{33}$	__	$5,8$	want _____________
$\sqrt{56,2}$	__	$7,5$	want _____________
$\sqrt{6,25}$	__	$2,5$	want _____________

Jim heeft de oppervlakte van het vierkant berekend en vond $12,96$ .

Hoe heeft hij dat antwoord gevonden, denk je?

Wat vind jij daarvan?

Van een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden $1$ en $\sqrt{5}$ .

Hoe lang is de schuine zijde? Geef het exacte antwoord, laat zo nodig een $\sqrt{}$ -teken in je antwoord staan.

Afstanden in een rooster

We werken in een rooster van $1$ bij $1$ cm. Daarin zijn twee routes getekend van $A$ naar $B$ . De tekening bij de opgave staat op het werkblad op ware grootte. Als je de routes meet, blijken ze ongeveer even lang te zijn.

Kun jij met je rekenmachine berekenen welke van de twee de langste is?

In het plaatje zijn vier lijnstukken getekend.

Schrijf op hoe lang ze zijn. Geef een exact antwoord, gebruik zo nodig een $\sqrt{}$ -teken en geef een benadering in één decimaal nauwkeurig.

Teken op roosterpapier (of met de "applet" ) lijnstukken met de volgende lengtes: $\sqrt{18}$ , $\sqrt{20}$ , $\sqrt{26}$ en $\sqrt{32}$ .

13s

15s

figuur 1

Het “slakkenhuis” (figuur 1) bestaat uit op elkaar aansluitende rechthoekige driehoeken, waarvan een rechthoekszijde lengte $1$ heeft. De kleinste driehoek heeft twee rechthoekszijden $1$ .
Bij drie lijnstukken staat een vraagteken.

Hoe lang zijn die lijnstukken?
Geef exacte antwoorden, gebruik zo nodig een $\sqrt{}$ -teken.

figuur 2

In figuur 2 is het slakkenhuis voortgezet.

Zijn de hoeken om het centrum alle even groot?
Licht je antwoord toe.

Het eerste lijnstuk heeft lengte $1$ , het tweede $\sqrt{2}$ .

Het hoeveelste lijnstuk heeft lengte $1000$ ?

Zijden en oppervlakte van rechthoeken

Een wedstrijdbiljart heeft een oppervlakte van $4 m^{2}$ . Het laken is twee keer zo lang als breed.

Bereken de afmetingen van het biljartlaken in mm nauwkeurig. Gebruik je rekenmachine.

Een rechthoek heeft oppervlakte $15 m^{2}$ .
De rechthoek is $3$ keer zo lang als breed.

Bereken de afmetingen van de rechthoek in mm nauwkeurig. Gebruik je rekenmachine.

De vergelijking $x^{2} = 4$ heeft twee oplossingen.

Welke?

De vergelijking $x^{2} = 10$ heeft ook twee oplossingen.

Welke (exact)?

16s

19s

We gaan rechthoeken in de breedte dubbelvouwen (we halveren dus de langste zijde). Meestal is de halve rechthoek niet gelijkvormig met de oorspronkelijke rechthoek. Dat kan hij wel zijn! We starten met een rechthoek van $2$ bij $3$ . De lange zijde is $1 \frac{1}{2}$ keer zo lang als de korte zijde.
De halve rechthoek meet $1 \frac{1}{2}$ bij $2$ . De lange zijde is $1 \frac{1}{3}$ keer zo lang als de korte zijde.

Is de halve rechthoek gelijkvormig met de oorspronkelijke rechthoek?
Zelfde vraag bij een rechthoek van $5$ bij $7$ .

En bij een rechthoek van $12$ bij $17$ .

De rechthoek van $12$ bij $17$ is wel bijna gelijkvormig met zijn eigen helft; het scheelt niet zo veel.
Er is een rechthoek die precies gelijkvormig is zijn eigen helft. Zeg dat die rechthoek lengte $2$ heeft en breedte $x$ .

Bereken $x$ exact.

Opmerking:

De blaadjes waarop jouw zelftoetsen en proefwerken staan gedrukt, zijn van die verhouding: als je ze dubbelvouwt krijg je een rechthoek die gelijkvormig is met het uitgevouwen vel. Diezelfde verhouding tref je aan bij een krantenpagina, bij briefkaarten, enzovoort.

De oplossingen van de vergelijking $x^{2} = 10$ zijn $\sqrt{10}$ en $‐ \sqrt{10}$ .

Los de volgende vergelijkingen in $x$ exact op. Er zijn telkens twee oplossingen.

$2 x^{2} = 4$	$3 x^{2} = 15$
${(2 x)}^{2} = 40$	${(\frac{1}{2} x)}^{2} = 40$