We werken weer in een rooster. Daarin is rechthoek $A$ getekend. De lange zijde bestaat uit drie stukken van lengte $\sqrt{2}$ . De lengte van de lange zijde is dus $3 \cdot \sqrt{2}$ of korter: $3 \sqrt{2}$ .
De lengte van de lange zijde is dus $3 \sqrt{2}$ .

Hoe lang is de korte zijde van $A$ ?

Leg uit dat de omtrek van $A$ gelijk is aan $10 \sqrt{2}$ .

Bereken de oppervlakte van $A$ door hokjes te tellen.

Opmerking:

Je kunt de oppervlakte van $A$ ook berekenen door lengte en breedte van $A$ met elkaar te vermenigvuldigen.
$2 \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12$ .

Afspraak
In het vervolg schrijven we $3 \sqrt{2}$ in plaats van $3 \cdot \sqrt{2}$ .

Hiernaast staat vierkant $B$ , de zijden zijn $2 \sqrt{2}$ .

Schrijf de omtrek van $B$ zo eenvoudig mogelijk.

Bereken de oppervlakte van $B$ op twee manieren, door hokjes tellen en door de lengte en de breedte van $B$ te vermenigvuldigen.

We bekijken nog een rechthoek $C$ met zijden $2 \sqrt{5}$ en $\sqrt{5}$
en een vierkant $D$ , met zijden $\sqrt{10}$ .

Teken met de "applet" (of op het werkblad) deze twee figuren.
Geef de omtrek van elk van de twee.

Bereken de oppervlakte van de figuren op twee manieren, "hokjes tellen" en "lengte maal breedte".

Bepaal op je rekenmachine $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ , $\sqrt{8}$ en $\sqrt{15}$ .

Denk je dat: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{15}$ ?
Denk je dat: $\sqrt{3} + \sqrt{5} = \sqrt{8}$ ?

Ga met kwadrateren (zoals hierboven) na dat: $\sqrt{9} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{63}$ .

Welk getal moet er op de plaats van het vraagteken staan?
$\sqrt{5} \cdot \sqrt{11} = \sqrt{?}$

Bereken de schuine zijde van de rechthoekige driehoek exact, dus laat zo nodig een $\sqrt{}$ -teken in je antwoord staan.

Hoe kun je nu zonder rekenmachine concluderen dat $\sqrt{3} + \sqrt{5} > \sqrt{8}$ ?

Voor alle positieve getallen $p$ en $q$ geldt:
$\sqrt{p} \cdot \sqrt{q} = \sqrt{p \cdot q}$
$\sqrt{p} + \sqrt{q} > \sqrt{p + q}$

Opmerking:

De oppervlakte van vierkant $B$ in het plaatje (zie opgave 20) is $8$ .
De zijde is dus $\sqrt{8}$ . Anderzijds hebben we gezien dat de zijde $2 \sqrt{2}$ is, dus $2 \sqrt{2} = \sqrt{8}$ .
Je kunt ook met de regel $\sqrt{p} \cdot \sqrt{q} = \sqrt{p \cdot q}$
inzien dat $2 \sqrt{2} = \sqrt{8}$ namelijk:
$2 \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$ .

Voorbeeld 1
$5 \sqrt{6} = 5 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{150}$ .
$4 \sqrt{5} = 4 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$ .

Schrijf zonder getal voor het $\sqrt{}$ -teken zoals in voorbeeld 1.

$2 \sqrt{5}$

$5 \sqrt{2}$

$5 \sqrt{3}$

$a \sqrt{2}$

$2 \sqrt{a}$

$a \sqrt{b}$

$a$ en $b$ zijn positieve getallen.

Opmerking:

Je kunt ook andersom werken. Dat noemen we een wortel vereenvoudigen.
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ .
Bij het vereenvoudigen van een wortelvorm schrijf je een zo klein mogelijk geheel getal onder het wortelteken.
Zo vereenvoudig je $\sqrt{8}$ tot $2 \sqrt{2}$ en $\sqrt{300}$ tot $10 \sqrt{3}$ , ga dat na.
Ook wortelvormen met een breuk onder het wortelteken kun je vereenvoudigen, zie het volgende voorbeeld.

Voorbeeld 2
$\sqrt{\frac{5}{100}} = \sqrt{\frac{1}{100}} \cdot \sqrt{5} = \frac{1}{10} \sqrt{5}$ .

Vereenvoudig de volgende wortels.

$\sqrt{8}$

$\sqrt{18}$

$\sqrt{28}$

$\sqrt{48}$

$\sqrt{20}$

$\sqrt{40}$

$\sqrt{60}$

$\sqrt{80}$

$\sqrt{\frac{7}{25}}$

$\sqrt{\frac{7}{36}}$

$\sqrt{\frac{7}{100}}$

$\sqrt{\frac{3}{49}}$

Vereenvoudig de volgende wortels.

$\sqrt{72}$

$\sqrt{76}$

$\sqrt{80}$

$\sqrt{84}$

$\sqrt{\frac{12}{49}}$

$\sqrt{\frac{48}{49}}$

$\sqrt{2 \frac{2}{25}}$

$\sqrt{\frac{10}{b^{2}}}$

$\sqrt{2^{11}}$

$\sqrt{2^{5} \cdot 3^{6}}$

Opmerking:

$\sqrt{48}$ vereenvoudigen gaat zo:
$\sqrt{48} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{12} = 2 \cdot \sqrt{12} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$
of in één keer:
$\sqrt{48} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$ .

Bereken met je rekenmachine $\sqrt{63} - \sqrt{28} - \sqrt{7}$ .

Dit vind je ook zonder rekenmachine als volgt:
$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3 \sqrt{7}$ en $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2 \sqrt{7}$ , dus
$\sqrt{63} - \sqrt{28} - \sqrt{7} = 3 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} - \sqrt{7} = 0$ .

Laat ook zonder rekenmachine zien:
$\sqrt{160} - \sqrt{90} - \sqrt{10} = 0$ .

Opmerking:

Voorbeeld 3
$\sqrt{12} + \sqrt{75}$ kun je met één wortel schrijven:
$\sqrt{12} + \sqrt{75} = 2 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} = 7 \sqrt{3}$ .

Schrijf met één wortel, vereenvoudig de wortels.

$\sqrt{27} + \sqrt{75}$

$\sqrt{8} + \sqrt{18}$

$\sqrt{10} + \sqrt{1000}$

$\sqrt{45} - \sqrt{20}$

$\sqrt{32} - \sqrt{8}$

$\sqrt{300} - \sqrt{3}$

$\sqrt{a} + \sqrt{4 a}$

$\sqrt{12} + \sqrt{\frac{3}{4}}$

$\sqrt{\frac{3}{4}} + \sqrt{\frac{3}{16}}$

Bereken op je rekenmachine: $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$ .

Kun je ook zonder rekenmachine berekenen dat $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = 6$ ?

Laat zonder rekenmachine zien dat $\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{3}$ .

Opmerking:

Voorbeeld 4
De volgende vormen kun je met hoogstens één $\sqrt{}$ -teken schrijven, met een zo klein mogelijk geheel getal onder het $\sqrt{}$ -teken.
$\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{2}$
(of: $\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{18} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ )
$\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$

Schrijf de volgende vormen met hoogstens één $\sqrt{}$ -teken, vereenvoudig de wortels.

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}$

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{8}$

Welke van de volgende gelijkheden zijn waar? Leg je antwoord uit zonder rekenmachine.

$\sqrt{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{2 \frac{1}{4}}$	$\sqrt{9} + \sqrt{16} = \sqrt{25}$
$\sqrt{1} + \sqrt{1} + \sqrt{1} + \sqrt{1} = \sqrt{4}$	$\sqrt{1} + \sqrt{100} = \sqrt{101}$

11s

13s

In deze opgave mag je geen rekenmachine gebruiken.

Schrijf met één wortel, vereenvoudig de wortels. $\sqrt{\frac{2}{9}} + \sqrt{\frac{8}{9}}$ ; $\sqrt{1 \frac{1}{4}} + \sqrt{11 \frac{1}{4}}$

Welk geheel getal moet er op de stipjes komen?
$\sqrt{2^{3}} + \sqrt{2^{5}} + \sqrt{2^{7}} + \sqrt{2^{9}} = ... \sqrt{2}$ ?

12s

14s

Bereken voor welk getal $x$ geldt:

$\sqrt{9} + \sqrt{16} = \sqrt{x}$

$100 \sqrt{\frac{1}{100}} + \frac{1}{100} \sqrt{100} = \sqrt{x}$

$\sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{x} = \sqrt{14}$

$x \sqrt{0,02} - \sqrt{2} = 0$

$\sqrt{x} + \sqrt{12} = \sqrt{300}$

$\frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} + 1$