27.7 Gemengde opgaven >

Hoofdstukken > Wortels

Het volgende stuk stond in de NRC van 30 juni 2007.
In 2004 publiceerde de wiskundige Wojciech Slomczynski en natuurkundige Karol Zyczkowski een artikel op de wiskundigen-website arXiv.org. Daarin betogen ze dat het huidige stemsysteem van de EU niet eerlijk is. Het moet anders. Als land A twee keer zoveel inwoners heeft als land B, moet de bevolking van land A niet twee keer zoveel invloed hebben bij nationale verkiezingen, maar slechts wortel (2) keer zoveel. Bij een n keer grotere bevolking, wordt de invloed een factor wortel (n).

Neem aan: een land heeft $10$ miljoen inwoners en $100$ afgevaardigden.

Hoeveel afgevaardigden moet een land van $30$ miljoen volgens Slomczynski en Zyczkowski hebben? En een land van $2$ miljoen inwoners?

Hoeveel afgevaardigden moet een land van $n$ miljoen inwoners hebben volgens Slomczynski en Zyczkowski?

De driehoek heeft twee zijden van $2 \sqrt{6}$ en een zijde van $4 \sqrt{2}$ .

Bereken de oppervlakte van de driehoek exact.
Vereenvoudig je antwoord.

De oplossingen van ${(2 x)}^{2} = 10$ kun je op twee manieren vinden. We zetten ze naast elkaar.

Eerste manier	Tweede manier
$4 x^{2} = 10$	$2 x = \sqrt{10}$ of $2 x = ‐ \sqrt{10}$
$x^{2} = 2 \frac{1}{2}$	$x = \frac{1}{2} \sqrt{10}$ of $x = ‐ \frac{1}{2} \sqrt{10}$
$x = \sqrt{2 \frac{1}{2}}$ of $x = ‐ \sqrt{2 \frac{1}{2}}$

Laat zien dat de antwoorden bij beide manieren gelijk zijn, dus dat $\sqrt{2 \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{10}$ .

Los de volgende vergelijkingen op twee manieren op en laat zien dat ze bij beide manieren gelijk zijn.

${(3 x)}^{2} = 12$	${(3 x)}^{2} = 11$
${(\sqrt{3} x)}^{2} = 12$	${(\sqrt{3} x)}^{2} = 16$
${(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2} = \frac{1}{4}$	${(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2} = 8$

Als een auto plotseling uit alle macht moet remmen (een noodstop maakt), legt hij nog een aantal meters af. Dat aantal meters noemen we $r$ . Er is een verband tussen $r$ en de snelheid van de auto $v$ (in km/u).
Een vuistregel is: $v = 11,5 \sqrt{r}$ .

Een auto heeft een noodstop gemaakt. De politie meet de remweg op:

r = 25,6

meter.

Bereken met bovenstaande vuistregel de snelheid waarmee de auto reed in één decimaal.

Wat is volgens de vuistregel de remweg van een auto die met een snelheid van $100$ km/u rijdt?

De lengte van een ribbe van een kubus noemen we $r$ en de totale oppervlakte $O$ .

Laat zien dat $O = 24$ als $r = 2$ .

Geef een formule voor het verband tussen $O$ en $r$ .

Bereken $r$ exact als $O = 11$ .
Vereenvoudig je antwoord.

Herleid de formule die je in onderdeel b gevonden hebt tot $r = \frac{1}{6} \sqrt{6 O}$ .

Door twee rechthoeken met hoogte $\sqrt{2}$ aan elkaar te leggen, krijg je een nieuwe rechthoek. De oppervlakte van de nieuwe rechthoek is $\sqrt{2} (2 \sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

Schrijf de oppervlakte zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

Bereken de omtrek. Vereenvoudig je antwoord zoveel mogelijk.

Schrijf zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

$\sqrt{3} (2 \sqrt{3} - \sqrt{6})$	$2 \sqrt{3} (2 \sqrt{6} - \sqrt{3})$
$\sqrt{\frac{1}{2}} (2 \sqrt{2} - \sqrt{6})$	$\sqrt{1 \frac{1}{2}} (\sqrt{2} + \sqrt{6})$

De L-figuur en de rechthoek zijn uit dezelfde twee stukken opgebouwd en hebben dus gelijke oppervlakte.

Wat zijn de afmetingen van de rechthoek?

Bereken de oppervlakte van de L-figuur als verschil van twee vierkanten.

Bereken de oppervlakte van de rechthoek door zijn lengte en breedte te vermenigvuldigen.

De oppervlakte van het vierkant is ${(2 + \sqrt{3})}^{2}$ . Het vierkant is verdeeld in vier stukken.

Geef van elk van deze stukken de oppervlakte.

Schrijf ${(2 + \sqrt{3})}^{2}$ zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

In de vorige opgaven zijn bekende rekenregels herhaald over het wegwerken van haakjes, nu met wortels. Schrijf de algemene regels nog eens op:

$k (a + b)$	$k (a - b)$
${(a + b)}^{2}$	${(a - b)}^{2}$
$(a + b) (a - b)$	$(a + b) (c + d)$

Schrijf zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

${(\sqrt{3} + 1)}^{2}$	${(\sqrt{3} - 1)}^{2}$
${(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2}$	${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}$
$\sqrt{3} (\sqrt{3} - 1)$	$\sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)$	$(\sqrt{6} + \sqrt{3}) (\sqrt{2} - 1)$